Linear Diophantine equations and applications

Abstract

El presente trabajo abarca las siguientes temáticas, relacionadas con el estudio de las soluciones positivas de sistemas de ecuaciones Diofánticas lineales. • La justificación e implementación del software DPSolve para el cálculo de las soluciones enteras positivas de sistemas de ecuaciones Diofánticas lineales, que mejora un algoritmo previo basado en el lema de Dickson. • La introducción y estudio de los semigrupos afines de cuerpo convexo, y en particular el cálculo de su conjunto minimal de generadores (cuando es finitamente generado) y de un procedimiento para determinar cuando esos semigrupos son Buchsbaum, lo que permite obtener ejemplos de semigrupos con esta propiedad. Loa algoritmos relacionados se han implementado en Mathematica. • El estudio de algunos invariantes de factorización en monoides de factorización media y la introducción de un nuevo invariante llamado grado de catenaridad homogénea. Se aportan tanto resultados teóricos como algorítmicos; así como implementaciones en GAP ([16]). • Para el tratamiento computacional de problemas relacionados con lo indicado en el párrafo anterior, se ha desarrollado y publicado el paquete 4ti2gap para GAP, para disponer de herramientas que aporta 4ti2 mediante sus librerías.

The present manuscript covers the following subjects, all related to the study of nonnegative integer solutions of linear systems of Diophantine equations. • The justification and implementation of the software DPSolve to compute the nonnegative integer solutions of systems of linear Diophantine equations, which improves a previous procedure based on Dickson’s lemma. • The introduction and study of affine convex body semigroups, and in particular the calculation of their minimal generating sets (whenever finitely generated) and a procedure to determine when they are Buchsbaum, providing in this way plenty of examples of semigroups with this property. These methods has been implemented in Mathematica. • The study of some factorization invariants in half-factorial monoids and the introduction of a new invariant called the homogeneous catenary degree. Both theoretical and algorithmic results are provided; implementations have been performed in GAP ([16]). • In order to deal with the problems in the preceding paragraph we have implemented and published the 4ti2gap package, which is a GAP wrapper for 4ti2 ([29]).