Graphic methodologies, based in equilibrium hypotheses, for the structural analysis of masonry domes. Application to a historical building

Abstract

This dissertation presents a new graphic methodology for the structural analysis of domes and other surfaces of revolution, based in the combined use of funicular and projective geometry. The new methodology is presented through its application to a hemispherical brick dome of small thickness. The analysed model has been referenced to the inner brick dome in Basilica of San Juan de Dios in Granada (Spain). This basilica is regarded as a benchmark in the Spanish Baroque. For the first time, it is set out a detailed constructive analysis and a geometric modelling of the dome over the transept, which was built according to the “encamonada dome” typology, divulged by Fray Lorenzo de San Nicolás. The structural analysis of the inner brick dome is carried out by applying different equilibrium methodologies of increasing refinement. Firstly, an approximation is made by applying the Guastavino´s formulas. This is an experimental methodology that can be applied very quickly. Secondly, the application of the slicing technique in the frame of limit analysis. This is a very well known, and contrasted methodology, for the stability analysis of domes, which does not take into account the influence of the parallel internal forces. Finally, this dissertation presents a new graphic methodology, which allows to graphically determine internal forces in the dome, imposing the equilibrium in both vertical and horizontal planes. The dome is simplified into a network of longitudinal and latitudinal lines. The equilibrium in the vertical plane is assured by fitting the weight force polygon to the polar rays, so the dome geometry is a closed antifunicular polygon of the system of forces. The equilibrium in the horizontal plane is guaranteed by the formation of closed force polygons in the dual figure. The application of the new graphic methodology considers three structural situations: complete hemisphere, hemisphere with oculus, and hemisphere with lantern. Different inclinations of the reactions at the support are considered as well as various hypotheses for the structural behaviour of the backfilling. Multiple solutions with acceptable tensional values for the brick masonry have been obtained, which makes consideration of the backfilling on the extrados unnecessary. The results have been contrasted with the ones from the application of membrane analysis, and it indicates a strong coincidence if the number of sectors in the discretisation of the graphic methodology are high enough. Additionally, the new methodology allows its application to different structural situations, it is easy to understand, easy to program, and can be applied in domes of arbitrary geometry. Keywords: historical structure, encamonada dome, structural analysis, graphic statics, funicular geometry, projective geometry.

Se presenta una nueva metodología gráfica para el análisis estructural de cúpulas y otras superficies de revolución, basada en el uso combinado de geometría funicular y proyectiva. La nueva metodología se presenta mediante su aplicación a una cúpula semiesférica de poco espesor. El modelo analizado se ha referenciado a la cúpula interior de ladrillo de la Basílica de San Juan de Dios en Granada (España). Esta basílica es considerada una de las grandes obras del barroco español. Por primera vez, se presenta un detallado análisis constructivo y una modelización geométrica de la cúpula sobre el crucero, que fue construida de acuerdo a la tipología de cúpula encamonada, difundida por Fray Lorenzo de San Nicolás. El análisis estructural de la cúpula interior de ladrillo se ha realizado mediante la aplicación de diferentes metodologías basadas en el equilibrio y con grado de aproximación creciente. En primer lugar, se ha realizado una aproximación aplicando las fórmulas de Guastavino. Esta es una metodología experimental de rápida aplicación. En segundo lugar, se ha aplicado el método de los cortes en el marco del análisis límite. Esta es una metodología de análisis de estabilidad en cúpulas muy conocida y contrastada, que no considera la influencia de los esfuerzos paralelos. Finalmente, se presenta una nueva metodología gráfica que permite determinar gráficamente los esfuerzos internos de la cúpula, asegurando el equilibrio en los planos vertical y horizontal. La cúpula es simplificada en una red de líneas longitudinales y latitudinales. El equilibrio en el plano vertical se asegura ajustando el polígono de fuerzas de los pesos a los rayos polares, por lo que la geometría de la cúpula será un polígono antifunicular cerrado del sistema de fuerzas. El equilibrio en el plano horizontal se garantiza con la formación de polígonos de fuerzas cerrados en la figura dual. La aplicación de la nueva metodología gráfica considera tres situaciones estructurales: semiesfera completa, semiesfera con óculo, y semiesfera con linterna. Asimismo, analiza varias inclinaciones de las reacciones en el soporte y diferentes hipótesis del comportamiento estructural del relleno. Se han obtenido una multiplicidad de soluciones con valores tensionales aceptables para la fábrica de ladrillo, lo que lleva a considerar el relleno del extradós innecesario. Los resultados se han contrastado con los obtenidos al aplicar análisis de membrana, resultando una gran coincidencia si el número de sectores de discretización, de la nueva metodología gráfica, es suficientemente alto. Además, la nueva metodología permite su aplicación a diferentes situaciones estructurales, es fácil de entender, fácil de programar y se puede aplicar a cúpulas de geometrías arbitrarias. Palabras clave: estructuras históricas, cúpula encamonada, análisis estructural, estática gráfica, geometría funicular, geometría proyectiva.