Superficies mínimas y de curvatura media constante en espacios homogéneos

Abstract

The theory of minimal and constant mean curvature surfaces in the Euclidean space R3 is a classical field in Differential Geometry. It gathers different techniques such as Complex Analysis, Geometry Measure Theory and Partial Differential Equations, as well as Topology and Algebra. Nowadays it is still an important research field with different applications in Geometry and other areas of Mathematics. The origins of minimal surfaces date back to 1760 when Lagrange proposed the problem, previously treated by Euler for revolution surfaces, of finding a surface with the least area possible which encloses a given closed curve without self-intersections. This approach was subsequently expanded by the experimental model of the physicist Plateau, that consists in immersing a closed curved of thin wire in soapy water. Removing the wire carefully, the solution to this problem appears, which has in general, the shape of a regular surface and remain still by the action of the surface tension of the liquid. By the Laplace-Young Law, such a surface has mean curvature zero. Surfaces with constant mean curvature equal to zero are known as minimal surfaces. Lagrange’s problem is an example of the method that it is known as Calculus of Variations nowadays. Area-minimizing surfaces, that is, those that solve the minimization problem, are critical points of the Area functional (which is equivalent to being a minimal surface), though not every critical point of this functional solves the minimization problem. We can argue that the minimal surfaces which are observable are locally minima of the Area functional. In particular, they are stable, that is, the second derivate of the Area functional is bigger than o equal zero for all compactly supported variation of the surface.

La teoría de superficies mínimas y de curvatura media constante en el espacio euclídeo R3 es un área clásica de la Geometría Diferencial que ha sabido aunar fructíferamente técnicas puramente geométricas con otras de naturaleza analítica como la variable compleja, la teoría geométrica de la medida y la teoría de ecuaciones en derivadas parciales, así como con otros campos de la Topología y del Álgebra. Hoy en día sigue siendo un campo de intensa investigación y desarrollo, con aplicaciones no solo en Geometría Diferencial, sino también en otras ramas de las matemáticas, la biología y la ingeniería. Los orígenes de las superficies mínimas se remontan a 1760 con un problema propuesto por Lagrange anteriormente estudiado por Euler para el caso de superficies de revolución. Este problema consistía en encontrar una superficie de área mínima que tuviera por frontera una curva cerrada y sin auto-intersecciones fijada a priori. Este planteamiento se corresponde con el posterior modelo experimental ideado por el físico Plateau, que consistía en introducir una curva cerrada de alambre fino en una disolución de agua y jabón. Retirando el alambre cuidadosamente, aparece (si existe) una solución a este problema formada por una película de jabón, que tiene en general la forma de una superficie regular y se mantiene en equilibrio por la acción de la tensión superficial del liquido. Según la ley de Laplace- Young dicha superficie tiene curvatura media nula. A las superficies con curvatura media nula se les conoce como superficies mínimas. Este problema de Lagrange aparecía como un ejemplo de un método que hoy en día se conoce como el Cálculo de Variaciones. Así, las superficies área-minimizantes, es decir, aquellas que resuelven el problema de minimización, son puntos críticos del funcional Área (que equivale a ser superficie mínima). Aunque no todos los puntos críticos de este funcional resuelven el problema de minimización, las superficies mínimas observables son además mínimos locales del funcional Área. En particular, son estables, es decir, la segunda derivada del funcional Área es mayor o igual que cero para cualquier variación de la superficie con soporte compacto.