Metric-affine Gauge theories of gravity. Foundations and new insights

Abstract

General Relativity (GR) is the geometric theory we currently use as standard framework for gravitation. In GR, gravity is understood as a manifestation of the deformations of the spacetime caused by the energy-momentum content. The basic mathematical object in this theory is the metric, which defines the notion of distance. In addition, this metric canonically induces a connection (essentially a notion of parallelism), which has a curvature associated with it. It is this curvature what explains the gravitational effects at large scales. This thesis is about developments performed in the so-called metric-affine framework. This alternative framework extends GR by considering a connection more general than the one induced by the metric. Interestingly, the resulting structure can be integrated within a gauge procedure, similarly as we do with the other interactions of Nature. The resulting theory is known as Metric-Affine Gauge (MAG) gravity. Contributing to the development of this theory, as well as to other modified theories of gravity, is the central goal of this thesis. In Chapter 1 we revise the open problems that are present in GR with an extensive bibliographic revision and use this to motivate modifications of GR. After this introduction, the contents of the thesis are divided into three main parts, covering different aspects of metric-affine theory and other modified theories of gravity. In the first part we revise more formal aspects of the metric-affine framework. It contains three chapters: p Chapter 2. This chapter is a compendium of mathematical definitions, results and formulae that we will need to properly work in metric-affine theories. p In Chapter 3, we introduce the gauge approach that leads to metric-affine gravity and collect some general properties of these theories. We also construct the most general action up to quadratic order in curvature, torsion and nonmetricity. p In Chapter 4, we discuss the topological nature of the Lovelock terms when formulated in a metric-affine framework in their critical dimensions. At the end we also comment on other topological invariants. In the two chapters that constitute the second part, we study gravitational wave geometries: p In Chapter 5, we analyze (kinematically) different ways to generalize the geometry of a gravitational wave metric to the metric-affine framework. We apply some of the results and criteria obtained to particular geometries. p In Chapter 6, we perform, for a particular geometry (Ansatz), the analysis of the dynamical equations for quadratic metric-affine gravity (only with even parity invariants), and search for exact solutions of that type. The third part is much more physical. The aim here is to analyze the viability of different extensions of GR by guaranteeing the stability of their degrees of freedom: p In Chapter 7, we present and discuss some of the most important field-theoretical pathologies that we can find in general theories and, in particular, in gravity. We see some particular cases and analyze other types of problems in the particular case of 4-dimensional Einstein-Gauss-Bonnet gravity. p In Chapter 8, we collect the results of an analysis of the stability of cosmological backgrounds in Einsteinian Cubic gravity and other extensions of this theory. The idea is to explicitly show the consequences of doing physics in a strongly coupled background. This chapter is not directly related to metric-affine gravity, but it is a nice example of a modified theory of gravity with problems that could also be expected in the metric-affine case. p In Chapter 9, we concentrate on the null-curvature restriction of the even quadratic metric-affine action. We express the well known teleparallel equivalents of GR as particular gauge-fixed versions of it. In addition, we show that extra symmetries are needed to avoid the presence of ghosts. p In Chapter 10, we present some preliminary results on the particle spectrum of the full quadratic metric-affine Lagrangian (with even and odd invariants) in four dimensions around Minkowski space. The chapters based on published works contain at the end their own conclusions (together with a list of limitations of that work). In Chapter 11, we just briefly revise the most important ones, as well as some general ideas and lessons that one could extract from the whole thesis. This chapter is followed by several appendices that collect complementary contents, expressions and proofs.

Relatividad General (GR) es la teoría geométrica que actualmente constituye el marco estándar de trabajo en gravitación. En ella, la gravedad se entiende como una manifestación de las deformaciones provocadas en el espaciotiempo por el contenido de energía-momento. El objeto matemático básico de esta teoría es la métrica, la cual define la noción de distancia. Esta métrica, además, induce canónicamente una conexión (esencialmente, una noción de paralelismo) que tiene asociada una curvatura. Y es esta curvatura la que explica a gran escala los efectos gravitatorios. Esta tesis trata sobre desarrollos llevados a cabo en el llamado marco métrico-afín de gravedad. Se trata de un marco alternativo que extiende Relatividad General al considerar una conexión más general que la que induce la métrica. Curiosamente, la estructura resultante puede enmarcarse dentro de un procedimiento gauge, tal y como hacemos para el resto de interacciones de la Naturaleza. A la teoría resultante se la conoce como Metric-Affine Gauge (MAG) gravity. Contribuir al desarrollo de esta y, en general, al campo de la gravedad modificada, es el objetivo central de esta tesis. En el Capítulo 1 revisamos los problemas abiertos de GR con una extensa batería bibliográfica y los usaremos para motivar modificaciones de GR. Tras esta introducción, los contenidos de la tesis se agrupan en tres grandes bloques, cubriendo diferentes aspectos de la teoría métrico-afín y de otras teorías modificadas de gravedad. En la primera parte abarcamos aspectos más formales del marco métrico-afín. Contiene tres capítulos: p Capítulo 2. Este capítulo es un compendio de definiciones, resultados y fórmulas matemáticas que necesitaremos para trabajar en teorías métrico-afines. p En el Capítulo 3 introducimos el procedimiento gauge que conduce a las teorías métrico-afines y recopilamos algunas propiedades generales de estas. Construimos también la acción más general hasta orden cuadrático en la curvatura, la torsión y la no-metricidad. p En el Capítulo 4 discutimos la naturaleza topológica de los términos de Lovelock formulados en el marco métrico-afín en sus dimensiones críticas. Al final, comentamos también sobre otros invariantes topológicos. En los dos capítulos que constituyen la segunda parte estudiamos geometrías de onda gravitacional: p En el Capítulo 5 analizamos (cinemáticamente) diferentes modos de generalizar métricas de onda gravitacional al marco métrico-afín. Aplicaremos también algunos de los resultados a geometrías particulares. p En el Capítulo 6 llevamos a cabo, para una geometría particular (Ansatz), el análisis de las ecuaciones dinámicas de la teoría cuadrática métrico-afín (solo con invariantes pares bajo paridad), y exploramos soluciones exactas de aquel tipo. La tercera parte es mucho más física. La idea ahora es analizar la viabilidad de diferentes extensiones de GR, usando como criterio la estabilidad de sus grados de libertad: p En el Capítulo 7 presentamos y discutimos algunas de las patologías más importantes que pueden aparecer en teorías de campos generales y, en particuar, en gravedad. Veremos algunos casos particulares y analizaremos otros tipos de problemas en el caso particular de 4-dimensional Einstein-Gauss-Bonnet gravity. p En el Capítulo 8 recopilamos los resultados de un análisis sobre la estabilidad de fondos cosmológicos en Einsteinian Cubic gravity y extensiones de esta. La idea es mostrar explícitamente las consecuencias de hacer física en un fondo fuertemente acoplado. Este capítulo no está directamente relacionado con gravedad métricoafín, pero es un buen ejemplo de teoría modificada de gravedad con problemas que podrían esperarse también en el caso métrico-afín. p En el Capítulo 9 nos concentramos en la restricción de curvatura nula de la parte par de la acción cuadrática métrico-afín. Expresamos los bien conocidos equivalentes de GR como versiones de dicha teoría bajo gauge-fixings particulares. Además, demostramos que son necesarias simetrías extra para evitar la presencia de modos fantasma. p En el Capítulo 10 presentamos algunos resultados preliminares sobre el espectro de partículas del lagrangiano cuadrático métrico-afín general (incluyendo invariantes pares e impares), en cuatro dimensiones y alrededor del espacio de Minkowski. Los capítulos basados en trabajos publicados contienen al final sus propias conclusiones (junto a una lista de limitaciones de dicho estudio). En el Capítulo 11, brevemente revisaremos las más importantes, así como algunas ideas generales y lecciones que podemos extraer de toda la tesis. A este capítulo le siguen varios apéndices que recopilan contenidos, expresiones y demostraciones complementarias.