What is an ordered set of ordered subsets in combinatorics? A paper in honour of Carmen Batanero in her 70th birthday

Abstract

This paper analyzes the multiple results and the reasons given for their divergent answers by subjects of different age, gender and training to an apparently very simple problem in combinatorics, called “The Pearl” or “The Four-Toy Problem”. The unexpected consequences of this semiotic analysis lead to questioning the usual definition of order relation, and to detecting two different kinds of order for the results of school tasks about combinations and permutations, here named “internal” and “external order”. At the end, some suggestions for classroom communication, for the design of didactic situations, for assessment, and for Didactics of Mathematics or Mathematics Education research derived from the semiotic analysis of the Four-Toy Problem are reviewed and motivated.

El presente trabajo analiza los múltiples resultados y las razones que dan distintos sujetos de edad, género y preparación diferentes a un problema aparentemente muy sencillo de combinatoria, llamado “La Perla” o “El Problema de los Cuatro Juguetes”. Las consecuencias inesperadas de este análisis semiótico conducen a poner en cuestión la definición usual de las relaciones de orden, y a detectar dos tipos de orden diferentes para los resultados de tareas escolares sobre combinaciones y permutaciones, que se llaman aquí “orden interno” y “externo”. Finalmente, se proponen y motivan una serie de sugerencias para la comunicación en el aula, para el diseño de situaciones didácticas, para la evaluación, y para la investigación en Didáctica de las Matemáticas o Educación Matemática que se derivan del análisis del análisis semiótico del Problema de los Cuatro Juguetes.