Causality as a guiding principle for physics beyond General Relativity

Abstract

This thesis is situated within the context of quantum gravity, understood broadly as any effort to explore the interplay between gravitation and the quantum realm, without necessarily entailing the quantization of the gravitational field itself. In particular, we focus on emergent theories, specifically those in which the causal structure and geometric concepts underlying the gravitational field in General Relativity are not fundamental, but instead emerge from more basic underlying degrees of freedom. Moreover, our attention is directed toward emergent theories inspired by condensed matter physics contexts. Rather than constructing a full-fledged emergent theory and conducting a detailed analysis of its consequences, a task far too ambitious for a single thesis, this work offers a humble roadmap of analyses and reflections relevant to emergent frameworks, without committing to any specific theory. The aim is not to provide definitive answers, but rather to challenge certain established ideas and highlight the features that a potentially successful theory should possess.

This thesis is divided into two distinct parts, reflecting the significantly different tools and analyses employed in each. The first part addresses fundamental and conceptual aspects of emergent theories, with a particular focus on the role of background structures, both in terms of their implications for the theory and their relevance from a constructive perspective. The second part begins with the assumption that singularities and horizons are absent, a feature often anticipated in emergent frameworks. However, the analyses in this part can also be interpreted as largely agnostic and independent of specific theoretical commitments. The first part of the thesis comprises four chapters. The first two are situated within the framework of analogue gravity, which involves studying systems whose excitations, in certain regimes, can be described as relativistic fields propagating over an effectively curved geometry. In Chapter 1, we investigate whether closed timelike curves can be simulated within these analogue models. Since such systems are not constrained by the Einstein field equations, it is, in principle, possible to engineer configurations that would not naturally arise in general relativistic scenarios. However, we find that the system tends to avoid configurations associated with causally pathological emergent geometries: the analogue model breaks down before such configurations can be realized. We argue that this behavior is primarily due to the underlying more fundamental laboratory causality, although for observers restricted to probing only the emergent geometry, this reason may not be readily apparent.

In Chapter 2, we turn our attention to analogue systems with a quantum substratum and investigate the possibility of engineering superpositions of states, each associated with its own emergent geometry. We demonstrate that when the resulting causal structure becomes excessively blurred, the system destabilizes, rendering such superpositions unsustainable. We argue that although quantum gravity is expected to involve superpositions of spacetimes, configurations that significantly depart from a well-behaved causality are dynamically suppressed. This observation parallels arguments in the literature suggesting that, rather than quantizing gravity, it may be necessary to modify the quantum laws themselves to make them compatible with the general relativistic framework. We revisit several of these proposals, compare them with our findings, and draw lessons relevant to emergent gravity frameworks.

Chapter 3 addresses gravitational theories from a constructive perspective. It has long been argued that the only consistent non-linear extension of the Fierz–Pauli theory is General Relativity. We revisit this issue by examining the analogue problem for higher-derivative and metric-affine gravity theories. We demonstrate that any background-independent theory can be reconstructed from its linear counterpart. Furthermore, we show that GR is not the only consistent extension of Fierz–Pauli theory in dimensions greater than four, emphasizing that the constructive process involves making choices at each step, and does not uniquely lead to a single nonlinear theory. Finally, we also demonstrate that Unimodular Gravity can be reconstructed from its linearization, WTDiff, and, more generally, that any WTDiff-invariant background-dependent theory can be obtained from its linearization. Chapter 4 offers a systematic comparison of General Relativity and Unimodular Gravity, as well as, more generally, Diff-invariant theories and their WTDiff-invariant counterparts. We examine these theories at the classical and semiclassical level, and some aspects of the quantum theory, concluding that the only distinction between them lies in the cosmological constant, which in General Relativity is a coupling constant, and in Unimodular Gravity, an integration constant. We critically review the implications of this distinction for model building and for string theory, particularly in relation to whether its low-energy sector can only be described by General Relativity.

The second part of the thesis focuses on horizonless and non-singular ultracompact objects and comprises three chapters. Chapter 5 revisits the no-hair theorems within the specific context of static and axisymmetric spacetimes. In particular, we relax the usual assumption of the presence of a horizon and instead impose the existence of a finite maximum redshift surface and bounded scalar curvatures. We find that, under these conditions, the multipole structure of the configuration must parametrically approach that of a black hole as the maximum redshift is taken to infinity. As a byproduct of this analysis, we apply the same tools to black holes in astrophysical settings and show that, for any given external gravitational environment, there exists a unique horizon shape compatible with it that does not exhibit singularities. In that sense, the environment is not able to grow hair on the black hole and the horizon deforms to adapt to the environment. Chapter 6 deviates slightly from the central themes of the thesis, as it presents the first example of asymptotically flat black holes with locally vacuum toroidal horizons in four spacetime dimensions featuring a non-singular exterior region. These are toy models constructed using thin shells and interpolating regions, each with a clear physical interpretation. As expected from classic results on black holes, their existence necessitates violations of energy conditions, which we explicitly characterize. Although this chapter is self-contained, it employs the same tools developed in the previous chapter and was directly inspired by the analyses conducted there.

The final chapter of the thesis addresses compactness bounds, that is, the ratio of mass to radius, for spherically symmetric stellar-like objects in General Relativity. We focus on two classical results: the Buchdahl and Bondi bounds. In particular, we examine the assumptions underlying these results and argue that, when certain assumptions are relaxed, the bounds can be circumvented. We illustrate this with physically simple toy models that offer a clear physical interpretation. We emphasize that these assumptions are expected to be violated in physically realistic scenarios, and recall the similarities of our toy models with some models in the literature. Finally, we explore how modifying these assumptions, particularly through the imposition of various energy conditions, affects the bounds, and we review alternative, less stringent limits previously discussed in the literature. The thesis concludes with a final chapter that summarizes the main results, outlines possible directions for future research, and situates the work within a broader context. In particular, we critically reflect on the findings, discuss their relevance to the emergent gravity framework, and explore several open questions, offering a more personal perspective on their significance.

Esta tesis se enmarca en el contexto de la gravedad cuántica, entendida en un sentido amplio como cualquier esfuerzo por explorar la relación entre la gravitación y el mundo cuántico, sin que esto implique necesariamente la cuantización del campo gravitacional. En particular, el análisis se centra en teorías emergentes, entendidas como aquellas en las que la estructura causal y los conceptos geométricos que aparecen en la descripción del campo gravitacional no son fundamentales, sino que emergen a partir de otros grados de libertad subyacentes. Además, nos centramos en teorías emergentes que están inspiradas en modelos de física de la materia condensada.

En lugar de construir una teoría emergente y realizar un análisis detallado de sus consecuencias, una tarea demasiado ambiciosa para una sola tesis doctoral, este trabajo ofrece una hoja de ruta a teorías emergentes sin comprometerse con ninguna en particular, analizando algunos aspectos relevantes dentro de este contexto. El objetivo no es tanto proporcionar respuestas definitivas a algunas preguntas, sino cuestionar ciertas ideas establecidas y destacar algunas características que una teoría emergente debería poseer para ser exitosa. La tesis se divide en dos partes bien diferenciadas, que utilizan herramientas y enfoques diferentes. La primera parte aborda aspectos fundamentales y de índole más conceptual de las teorías emergentes, con un énfasis particular en el rol de las estructuras de fondo. Se analizan tanto las implicaciones para la teoría como su relevancia desde un punto de vista constructivo. La segunda parte de la tesis parte de la suposición de que las geometrías que describen el campo gravitacional no tienen ni singularidades ni horizontes, una característica que se espera que tenga cualquier teoría emergente exitosa. No obstante, esta segunda parte también puede interpretarse como un análisis agnóstico partiendo de esta premisa sin comprometerse con ninguna teoría en particular.

La primera parte de la tesis consta de cuatro capítulos. Los dos primeros se sitúan en el marco de la gravedad análoga, que consiste en estudiar sistemas cuyas excitaciones en ciertos regímenes pueden describirse como campos relativistas propagándose en una geometría lorentziana efectiva. En el Capítulo 1 investigamos si es posible simular curvas cerradas temporales en estas geometrías efectivas que aparecen en análogos gravitacionales. Dado que las ecuaciones de Einstein no restringen estas geometrías dinámicamente, es posible, en principio, diseñar configuraciones que no surgirían de forma natural en escenarios relativistas. Sin embargo, encontramos que el sistema tiende a evitar las configuraciones en las que la geometría emergente exhibe patologías causales. De hecho, la descripción análoga deja de ser válida antes de que dichas configuraciones se alcancen. Este comportamiento parece deberse principalmente a la presencia de una causalidad subyacente más fundamental: la causalidad del laboratorio. Sin embargo, esta razón no tiene por qué ser evidente para observadores que solo pueden sondear la geometría emergente. En el Capítulo 2 se analizan sistemas análogos con un sustrato cuántico y se investiga la posibilidad de generar superposiciones de estados tales que, cada uno por separado, dan lugar a una geometría emergente concreta. Cuando la estructura causal se difumina demasiado, el sistema se desestabiliza, haciendo que dichas superposiciones sean extremadamente inestables. Aunque en gravedad cuántica se espera que las superposiciones de espaciotiempos tengan cabida dentro de la teoría, esto parece indicar que las configuraciones que se desvían demasiado de una causalidad bien comportada serían suprimidas dinámicamente. Esta observación guarda un paralelismo con argumentos similares en la literatura que sugieren que, más que cuantizar la gravedad, podría ser necesario modificar las leyes del mundo cuántico para hacerlas compatibles con el marco de la relatividad general. Se revisan varias de estas propuestas, se comparan con los resultados del modelo análogo y se extraen lecciones valiosas para el marco de la gravedad emergente. El Capítulo 3 aborda las teorías gravitacionales desde un punto de vista constructivo. Es habitual encontrar en la literatura la afirmación de que la única extensión no lineal consistente de la teoría de Fierz-Pauli es la relatividad general. En el capítulo se revisa esta cuestión examinando también el problema análogo para teorías alto-derivativas y teorías métrico-afines. Se demuestra que cualquier teoría que no tiene estructuras de fondo puede ser reconstruida a partir de su linealización. Además, se prueba que la relatividad general no es la única extensión consistente de la teoría de Fierz-Pauli en dimensiones espaciotemporales mayores que cuatro, enfatizando que el proceso constructivo requiere tomar decisiones en cada paso y distintas elecciones dan lugar a distintas teorías no lineales. Finalmente, se demuestra también que la gravedad unimodular puede ser reconstruida a partir de su linealización y, más en general, también cualquier teoría que exhibe estructuras de fondo pero es invariante bajo transformaciones WTDiff.

El Capítulo 4 presenta una comparación sistemática entre la relatividad general y la gravedad unimodular, así como, de manera más general, entre teorías invariantes bajo difeomorfismos y sus contrapartes invariantes bajo difeomorfismos transversos y transformaciones de Weyl. Se comparan estas teorías a nivel clásico y semiclásico, y se analizan algunos aspectos de sus formulaciones cuánticas, concluyendo que la única distinción entre ellas radica en la naturaleza de la constante cosmológica. Mientras que en la relatividad general actúa como una constante de acoplo, en gravedad unimodular aparece como una constante de integración. Se revisan críticamente las implicaciones de esta diferencia tanto para la construcción de modelos como para la teoría de cuerdas. En particular, se analiza si el sector de bajas energías de la teoría de cuerdas puede ser descrito únicamente por la relatividad general. La segunda parte de la tesis consta de tres capítulos y se centra en objetos compactos sin horizontes ni singularidades. El Capítulo 5 se centra en los teoremas de no pelo en el contexto específico de espaciotiempos estáticos y con simetría axial. En particular, no se asume la presencia de un horizonte, que es una suposición habitual, y se impone en su lugar la presencia de una superficie en la que la norma del vector de Killing temporal es mínima pero finita y los invariantes de curvatura escalares permanecen acotados. Se encuentra que, bajo estas condiciones, la estructura multipolar del objeto debe aproximarse paramétricamente a la de un agujero negro a medida que esa norma tiende a cero. Como subproducto de este análisis, aplicamos las mismas herramientas a los agujeros negros en entornos astrofísicos y mostramos que, para cualquier entorno gravitacional dado, existe una única forma posible para el horizonte que no da lugar a singularidades y es compatible con la relatividad general. En ese sentido, el entorno no puede crecerle “pelo” al agujero negro.

El Capítulo 6 se desvía ligeramente de los temas principales de la tesis, y en él se presenta el primer ejemplo de agujeros negros asintóticamente planos, con horizontes toroidales en cuatro dimensiones espaciotemporales, que están localmente en vacío y con una región exterior no singular. Son modelos sencillos que presentan materia en algunas regiones, alguna de ella materia distribucional, es decir, capas finas. Como se espera en función de los teoremas clásicos sobre agujeros negros, la existencia de horizontes toroidales requiere violaciones de condiciones de energía en la región externa, que se caracterizan explícitamente en el capítulo. Aunque es autocontenido, emplea las herramientas desarrolladas en el capítulo anterior y fue directamente inspirado por esos análisis.

El último capítulo de la tesis aborda los límites de compacidad, es decir, los límites para el cociente entre la masa y el radio de objetos esféricamente simétricos en relatividad general. Se analizan dos resultados clásicos: los límites de Buchdahl y Bondi. En particular, se examinan las hipótesis detrás de los resultados y se argumenta que, cuando se relajan algunas de esas suposiciones, los límites pueden sobrepasarse. Se ilustra esto con modelos simplificados y sencillos, pero que ofrecen una interpretación física clara. En particular, se enfatiza la similitud de estos modelos con algunos ya presentados en la literatura. Finalmente, se revisa cómo modificaciones de las hipótesis que conducen a estos límites, en particular a través de imponer condiciones de energía menos restrictivas, afectan al valor de las cotas que se derivan.

En las conclusiones se resumen los resultados principales, se discuten posibles direcciones de trabajo futuras y se sitúa el trabajo dentro de un contexto más amplio. En particular, se discuten de forma crítica los resultados de la tesis y su relevancia dentro del marco de la gravedad emergente. Finalmente, se exploran algunas preguntas abiertas surgidas a raíz de esta investigación y se ofrece una perspectiva más personal sobre su importancia.