Analysis and Modeling of Spatio-Temporal Point Processes. Information Theory-Based Approaches and Risk Assessment

Abstract

This thesis work addresses the study of log-Gaussian Cox processes (LGCPs), with a particular focus on their structural characteristics. The research is framed within the context of information and complexity measures, leading to the development of a methodological approach for assessing the goodness of fit of point process models. Furthermore, a fully non-separable model for LGCPs is proposed, and its practical applicability is demonstrated through the generation of dynamic risk maps via conditional simulation. First, we characterize the contribution to stochasticity of the two phases involved in the generation of an LGCP in relation to the transfer of information from the intensity field to the resulting point pattern. Both global and local analysis are conducted, the first based on entropy and complexity measures, and the latter based on divergence and relative complexity measures. The study is addressed by simulating a number of scenarios with varying parameter values of the Matérn covariance model for the underlying logintensity field. We assess the sensitivity of the considered information and complexity measures to changes in the covariance parameters as well as in deformation parameters of generalized measures. Benchmark cases, including a homogeneous Poisson process and an LGCP with a white noise intensity, are also analyzed. Results reveal that information and complexity measures are sensitive to changes in structural information transfer, particularly in relation to variations in the mean, variance and scale parameters. Subsequently, an approach to model LGCPs is proposed, combining a non-separable first-order intensity function to capture large-scale effects with a non-separable correlation structure for the latent random field that outlines small-scale effects, enabling an accurate representation of spatio-temporal dependencies in the process. To evaluate its predictive performance, the model is compared to a separable model and a mixed model that combines a separable first-order intensity with a non-separable covariance structure, by using local and global weighted second-order statistics. We use our modeling strategy to analyze the behavior of a set of forest fires in Nepal, fitting global trends in the intensity function by using external covariate information. The separable and mixed models yield similar global fit; however, the non-separable model shows improved performance both globally and locally. To extend the assessment of structural characteristics of LGCPs, a simulation study is conducted under nine different scenarios defined by varying the covariance parameters, each resulting in thousand realizations of point patterns . For each realization, intensity estimation is performed with different degrees of smoothing, also considering a constant intensity as a benchmark case. Shannon entropy, exponential LMC complexity, and Kullback-Leibler divergence are employed to compare the reference and estimated patterns and to study their sensitivity to changes in the covariance parameters, as well as to variations in the cell size of the quadrat scheme. Based on this simulation study, an entropy-based Monte Carlo goodness-of-fit test is proposed, enabling comparisons across multiple spatial resolutions. This test is evaluated through simulations based on an LGCP model, a simple sequential inhibition process model, and a Poisson process model with constant intensity. The test demonstrates strong power in discriminating LGCPs and inhibition processes from the null hypothesis of complete spatial randomness, while maintaining appropriate calibration under the homogeneous Poisson process. Finally, the proposed framework is applied to a spatial dataset of forest fires in Nepal to compare the fitting achieved by a non-parametric kernel density estimator and an LGCP model. In summary, the results obtained provide relevant information on the fitting and inference of LGCPs, as well as their characterization through information and complexity measures. The applicability of the proposed fitting approach and the goodness-of-fit test is supported by an extensive simulation study and real data applications, demostrating their practical relevance.

Esta memoria de tesis aborda el estudio de los procesos de Cox log-gaussianos (LGCPs), con un enfoque particular en sus características estructurales. La investigación se enmarca en el contexto de las medidas de información y complejidad, conduciendo al desarrollo de una aproximación metodológica para evaluar la bondad de ajuste de modelos de procesos puntuales. Además, se propone un modelo completamente no separable para LGCPs, y se demuestra su aplicabilidad práctica mediante la generación de mapas de riesgo dinámicos a través de simulación condicionada.

En primer lugar, se caracteriza la contribución a la estocasticidad de las dos fases involucradas en la generación de un LGCP en base a la transferencia de información desde el campo de intensidad al patrón de puntos resultante. Se realiza un análisis global y local, el primero basado en medidas de entropía y complejidad, y el segundo basado en medidas de divergencia y complejidad relativa. El estudio se aborda mediante la simulación de varios escenarios con diferentes valores de los parámetros del modelo de covarianza de Matérn para el campo de log-intensidad subyacente. Se evalúa la sensibilidad de las medidas de información y complejidad consideradas ante cambios en los parámetros de covarianza, así como en los parámetros de deformación de medidas generalizadas. También se analizan procesos de referencia, incluyendo un proceso de Poisson homogéneo y un LGCP con intensidad de ruido blanco. Los resultados muestran que las medidas de información y complejidad son sensibles ante cambios en la transferencia de información estructural, en particular, cuando se producen variaciones en los valores de los parámetros de media, varianza y escala.

Posteriormente, se propone un modelo para LGCPs que combina una función de intensidad no separable de primer orden que captura los efectos a gran escala, con una estructura de correlación no separable para el campo aleatorio subyacente que describe los efectos a pequeña escala, permitiendo una representación precisa de las dependencias espacio-temporales del proceso. Para evaluar el desempeño del modelo, se compara con un modelo separable y un modelo mixto, que combina una intensidad de primer orden separable y una estructura de covarianza no separable, mediante estadísticos ponderados de segundo orden locales y globales. Se emplea esta estrategia de ajuste para analizar el comportamiento de un conjunto de incendios forestales en Nepal, realizando el ajuste de las tendencias globales en la función de intensidad a través de covariables externas. Los modelos separable y mixto ofrecen ajustes similares a nivel global. Asimismo, se observa un mejor desempeño del modelo no separable tanto global como localmente.

Para extender el análisis de las características estructurales de los LGCPs, se realiza un estudio de simulación bajo nueve diferentes escenarios obtenidos a través de la variación de los parámetros de covarianza, resultando cada uno de ellos en mil realizaciones de patrones puntuales. Para cada realización, se estima la intensidad con diferentes grados de suavizado, considerando también una intensidad constante como referencia. Se utilizan la entropía de Shannon, la complejidad LMC exponencial y la divergencia de Kullback-Leibler para realizar comparaciones entre los patrones de referencia y los estimados, estudiando su sensibilidad ante cambios en los parámetros de covarianza así como a variaciones en el tamaño de las celdas de conteo. A partir de este estudio de simulación, se propone un test de bondad de ajuste mediante el método Monte Carlo basado en entropía, que permite realizar comparaciones a través de múltiples resoluciones espaciales. Este test se evalúa mediante simulaciones basadas en un modelo LGCP, un proceso de inhibición secuencial simple y un proceso de Poisson con intensidad constante. El test muestra una potencia significativa al discriminar LGCPs y procesos de inhibición respecto a la hipótesis nula de aleatoriedad espacial completa, manteniendo al mismo tiempo una calibración adecuada bajo un proceso de Poisson homogéneo. Finalmente, se aplica el marco metodológico propuesto a un conjunto de datos espaciales de incendios forestales en Nepal para comparar el ajuste obtenido por un estimador no paramétrico de intensidad tipo núcleo y un modelo LGCP.

En resumen, los resultados obtenidos proporcionan información relevante sobre el ajuste e inferencia de los LGCPs, así como sobre su caracterización mediante medidas de información y complejidad. La aplicabilidad del enfoque de ajuste propuesto y del test de bondad de ajuste se ha comprobado a través de un amplio estudio de simulación y la aplicación a datos reales, demostrando su relevancia práctica.