Influencia del razonamiento proporcional en la comparación de probabilidades y resolución de tareas probabilísticas

Abstract

Actualmente, los currículos de matemáticas conceden mayor importancia a la enseñanza de la probabilidad en la Educación Primaria y Secundaria, debido a la necesidad del razonamiento probabilístico para la toma de decisiones en situaciones de incertidumbre, así como para el estudio futuro de la inferencia estadística. Ante esta situación, la literatura de investigación en Educación Matemática advierte que la intuición en probabilidad, y más concretamente la capacidad en comparación de probabilidades, progresa por etapas. Además, dichas etapas pudieran tener relación con aquellas correspondientes al desarrollo del razonamiento proporcional, aunque no sean etapas equivalentes. No obstante, hay escasas investigaciones sobre el nivel de razonamiento probabilístico y proporcional con estudiantes en España, y ninguna en Costa Rica, una vez que los estudiantes han recibido formación en probabilidad. Esta tesis doctoral, realizada como compendio de publicaciones, describe dos estudios de evaluación del razonamiento probabilístico con estudiantado de Educación Primaria y Educación Secundaria, analizando su relación con el razonamiento proporcional. Como principales fundamentos teóricos, nos basamos en el Enfoque Ontosemiótico del conocimiento y la instrucción matemática (EOS), el currículo de España y Costa Rica sobre contenidos en probabilidad y proporcionalidad, así como en los principales antecedentes sobre evaluación del razonamiento probabilístico de niños y adolescentes, con especial atención a la comparación de probabilidades y sobre evaluación de niveles de razonamiento proporcional. El primero de los estudios empíricos tiene un carácter exploratorio y se realizó únicamente con estudiantes costarricenses de 6º curso de Educación Primaria que tenían instrucción en probabilidad. A partir de un análisis cuantitativo y cualitativo de las respuestas de los estudiantes a un cuestionario, adaptado de la literatura de investigación, se describen las estrategias empleadas y conflictos semióticos detectados. Aproximadamente, la mitad de la muestra presenta un desempeño adecuado en torno a la comparación de probabilidades, típico de la etapa de desarrollo de los participantes, según la literatura de investigación; aunque se muestra mayor dificultad en la construcción de espacios muestrales cuando se pide identificar los sucesos seguro e imposible; asimismo, se evidenciaron dificultades en una tarea sobre juego equitativo, donde se debía equiparar la ganancia de dos jugadores, de acuerdo a su probabilidad de ganar. Se encuentran pocas diferencias entre los resultados obtenidos con los de investigaciones previas, con estudiantes de igual edad que no recibieron enseñanza en el tema. En el segundo estudio se empleó una muestra de mayor tamaño con estudiantes de España y Costa Rica, de varios cursos escolares, donde se analiza la relación entre el nivel de razonamiento proporcional y probabilístico en estudiantes del último año de Educación Primaria (6º curso de Educación General Básica) y estudiantes de Educación Secundaria (edades entre 13 y 16 años). Para ello, se construye un cuestionario con un método válido y fiable, que permite evaluar en los estudiantes simultáneamente los dos tipos de razonamiento. En la parte probabilística se evalúa la comparación de probabilidades utilizando dos contextos diferenciados, urnas y ruletas, de diferentes niveles de razonamiento proporcional utilizados y que también se consideran en las tareas de comparación de razones. Además, se incluyen ítems sobre juego equitativo, construcción del espacio muestral e ítems para la detección de posibles sesgos en la comparación de probabilidades en ruletas. Se analizan los resultados en las diferentes tareas de razonamiento proporcional, y la relación con el resto de las competencias evaluadas. Para una parte de las variables, se comparan los resultados con los de estudiantes españoles de edades equivalentes, mientras que en el resto se trabaja únicamente con el estudiantado costarricense. En general, se observa que la edad en que se alcanza un determinado nivel de razonamiento es mayor que la supuesta por Noelting (1980a, 1980b); sin embargo, también se encuentra un bajo porcentaje de creencias de tipo subjetivo en la resolución de tareas probabilísticas planteadas en el cuestionario. Asimismo, se encontraron correlaciones estadísticamente significativas (aunque de intensidad pequeña) entre el nivel de razonamiento proporcional en que se sitúa un estudiante y sus resultados en el nivel de razonamiento probabilístico mostrado en las distintas tareas propuestas. Consideramos que tanto el diseño del cuestionario de evaluación como los resultados obtenidos en nuestra investigación y descritos en esta Memoria, aportan nuevo conocimiento referente al razonamiento proporcional, probabilístico y su relación, que ayudará a docentes, formadores de profesorado e investigadores en el diseño y evaluación de planes formativos y nuevas líneas de investigación en el tema.

Currently, mathematics curricula attach greater importance to probability teaching in primary and secondary education due to the need for probabilistic reasoning in decision-making dealing with situations of uncertainty and for the future study of statistical inference. Given this situation, the research literature in mathematics education notes that intuition in probability, and more specifically the ability to compare probabilities, progresses in stages. Moreover, these stages may be related to those corresponding to the development of proportional reasoning, although they are not equivalent. However, there is little research on the level of probabilistic and proportional reasoning among students in Spain, and none in Costa Rica once they have received training in probability. This doctoral thesis, carried out as a compendium of publications, describes two studies on the evaluation of probabilistic reasoning with students in primary and secondary education, analysing its relationship with proportional reasoning. As the main theoretical foundation, we rely on the Ontosemiotic Approach to mathematical knowledge and instruction (EOS), the Spanish and Costa Rican curricula on probability and proportionality contents, and the main precedents on the assessment of probabilistic reasoning in children and adolescents, with special attention to the comparison of probabilities and the assessment of proportional reasoning levels. The first empirical study was of an exploratory nature and was conducted only with Costa Rican students in the sixth grade of primary education who received instruction in probability. Based on a quantitative and qualitative analysis of the students’ answers to a questionnaire adapted from the research literature, the strategies employed, and the semiotic conflicts detected are described. Approximately half of the sample presents an adequate performance in the comparison of probabilities, typical of the developmental stage of the participants, according to the research literature; however, greater difficulty is shown in the construction of sample spaces when asked to identify certain and impossible events; likewise, difficulties were evidenced in a task on fair play, where the winnings of two players had to be equated according to their probability of winning. Few differences were found between the results obtained and those of previous research, with students of the same age who had not been taught the subject. In the second study, a larger sample of students from Spain and Costa Rica, from different school years, was used to analyse the relationship between the level of proportional and probabilistic reasoning in students in the last year of primary education (6th year of General Basic Education) and those in secondary education (ages 13 to 16). For this purpose, a questionnaire is constructed using a valid and reliable method that allows us simultaneously to evaluate both types of students’ reasoning. In the probabilistic part, the comparison of probabilities is assessed using two different contexts, ballot boxes and roulette wheels, with different levels of proportional reasoning used, which are also considered in the ratio comparison tasks. In addition, items on fair play, sample space construction, and the detection of possible biases in the comparison of probabilities in roulette wheels are included. The results of the different proportional reasoning tasks and their relationship with the rest of the skills assessed are analysed. For some of the variables, the results are compared with those of Spanish students of equivalent ages, whereas for the rest, we work only with Costa Rican students. In general, it is observed that the age at which a certain level of reasoning is reached is higher than that assumed by Noelting (1980a, 1980b); however, a low percentage of subjective beliefs is also found in the resolution of probabilistic tasks posed in the questionnaire. Likewise, statistically significant correlations were found (although of small intensity) between the level of proportional reasoning in which a student was placed and his or her results in the level of probabilistic reasoning shown in the different tasks proposed. We consider that both the design of the evaluation questionnaire and the results obtained in our research and described in this report provide new knowledge regarding proportional and probabilistic reasoning and their relationship, which will help teachers, teacher trainers, and researchers in the design and evaluation of training plans and new lines of research on the subject.