Una metodología difusa para aproximar conjuntos difusos de la recta real mediante números difusos

Abstract

En la presente Memoria estudiamos dos problemas abiertos en el contexto de los conjuntos difusos, introducidos por L.A. Zadeh en 1965 como una forma matemática de expresar la incertidumbre que nos rodea en el mundo real. Por un lado, presentamos un operador de aproximación que asocia un único número difuso normal a cada conjunto difuso del intervalo [0, 1]. La necesidad y la enorme aplicabilidad de este operador viene justificada por el hecho de que las principales técnicas matemáticas y estadísticas que se han propuesto hasta el momento (regresión, distancias, etc.) hacen uso exclusivamente de números difusos. Dichas técnicas no pueden ser aplicadas en general en contextos en los que los datos de entrada son conjuntos difusos arbitrarios, pues requieren de las especiales propiedades algebraicas y geométricas que verifican concretamente los números difusos. De esta forma, el operador propuesto es capaz de tomar los datos difusos de entrada y transformarlos, de una forma razonable, en n´umeros difusos con los que poder trabajar después. Este operador depende de una amplia colección de parámetros iniciales que le aportan gran ductilidad desde su propia concepción. Adicionalmente, se muestran las principales propiedades que satisface este operador, entre las que destacamos el estudio de sus puntos fijos y la propiedad minimizante que verifica. Por otro lado, presentamos un definición de índice de solapamiento en el marco de los conjuntos difusos de tipo 2. Habíamos observado que, tras la introducción de las funciones de solapamiento y su posterior éxito al ser aplicadas a distintos problemas de investigación, algunos autores habían tratado de extender esta noción al campo de los conjuntos difusos de tipo 1, lo cual se había conseguido a la luz del índice de consistencia de Zadeh. De esta forma, era interesante abordar el caso de los conjuntos difusos de tipo 2, que son capaces de modelizar situaciones de incertidumbre a través de una estructura algebraica más fina donde los propios conjuntos difusos de tipo 1 no alcanzan. De esta forma, introducimos las principales condiciones que ha de verificar un índice de solapamiento sobre conjuntos difusos de tipo 2, estudiamos sus primeras propiedades y mostramos amplias familias de ejemplos de esta clase de índices, relacionando los diferentes niveles de estructuras difusas. Ademas, discutimos la condición de normalidad para esta clase de índices y mostramos alternativas a la que aquí se presenta. Finalmente, ilustramos como emplear los índices de solapamiento de tipo (2, 0) y (2, 1) para implementar algoritmos inferenciales para sistemas interpolativos difusos de tipo 2, de tal forma que se pueda extraer una conclusión a partir de unas premisas y un hecho, todos ellos expresados con conjuntos difusos de tipo 2.

In this Memory we study two open problems in the context of fuzzy sets, introduced by L.A. Zadeh in 1965 as a mathematical way of expressing the uncertainty that surrounds us in the real world. On the one hand, we present an approximation operator that associates a unique normal fuzzy number to each fuzzy set in the interval [0, 1]. The need and the great applicability of this operator is justified by the fact that the main mathematical and statistical techniques that have been proposed up to now (regression, distances, etc.) make exclusively use of fuzzy numbers. Such techniques cannot be applied in general contexts where the input data are arbitrary fuzzy sets, since they require the special algebraic and geometric properties that, concretely, fuzzy numbers verify. In this way, the proposed operator is able to transform the fuzzy input data, in a reasonable way, into fuzzy numbers to work with afterwards. This operator depends on a wide collection of initial parameters that give it great ductility from its very conception. Additionally, the main properties that this operator satisfies are shown, among which we highlight the study of its fixed points and the minimizing property that it verifies. On the other hand, we introduce a definition of overlap index in the framework of type-2 fuzzy sets. We had observed that, after the introduction of overlap functions and their subsequent success in applications to different research problems, some authors had tried to extend this notion to the field of type-1 fuzzy sets, which had been achieved inspired by Zadeh’s consistency index. Thus, it was interesting to address the case of type-2 fuzzy sets, which are able to model uncertainty situations through a finer algebraic structure where type-1 fuzzy sets themselves do not reach. In this way, we introduce the main conditions to be verified by an overlap index on type-2 fuzzy sets, we study its first properties and we show large families of examples of this class of indices, relating the different levels of fuzzy structures. Furthermore, we discuss the normality condition for this class of indices and we show alternatives to the one presented here. Finally, we illustrate how to employ overlap indices of type (2, 0) and (2, 1) to implement inferential algorithms for type-2 fuzzy interpolative fuzzy systems, such that a conclusion can be drawn from fuzzy rules and a fact, all of them expressed as type-2 fuzzy sets.