El uso de fibrados diferenciables en las Teorías de Gauge

Abstract

Poniéndonos en contexto, esto es un trabajo de fin de grado del grado en física, pero realizado con el departamento de geometría y topología. Es por eso, que se hace especial atención a la correcta definición de cada concepto a nivel matemático, llegando a ocupar las secciones 2 y 3 que son las que están dedicadas a las matemáticas, dos tercios de la extensión del trabajo. El orden ha sido primero definir todos los conceptos matemáticos, posteriormente introducir las teorías físicas de interés (entre las cuales destacan las teorías de gauge), y por último, interpretarlas según el formalismo de los fibrados diferenciables. Respecto a la parte de matemáticas, la sección 2 busca introducir los conceptos principales de la geometría diferencial, además, se ha visto como conceptos familiares para los físicos encuentran se entienden mejor como objetos de este campo. La sección 3 habla de los fibrados principales, que son los de mayor interés físico. Como ejemplo de estos, destacan los fibrados de Hopf. En cuanto a la parte física, se ha desarrollado la teoría gauge electromagnética y la de Yang-Mills. El formalismo de fibrados ha permitido ver estas teorías gauge desde un punto de vista geométrico, simple y nuevo. Además, se han interpretado el efecto Aharonov-Bohm junto a los monopolos magnéticos, y los instantones, como diferentes fibrados de Hopf. Por otro lado, el hecho de que haya un límite de 40 páginas, ha obligado a escribir todo de manera muy compacta y a suprimir cálculos y demostraciones de algunos teoremas. Aun así, el lector interesado en alguna de las mismas, puede recurrir a ellas mediante las referencias correctamente indicadas.

To begin with, we have to put into context this work. This is a bachelor’s physics degree final project, but it has been done with the geometry and topology department. For this reason, special attention is given to the correct definition of all mathematical concepts. The sections 2 and 3, the ones that deal with mathematics, have an extension of two thirds of the total project. First, we have talked about mathematical concepts, after that, about the physical theories that interest us (among them, the gauge theories are the most significant). Finally, we have interpreted the theories within the framework of fiber bundles. Concerning to the mathematical part, section 2 seeks to introduce the most important concepts in differential geometry. Also, we have talked about some mathematical concepts that are familiar for the physics and, are better understood as objects of this field of mathematics. In section 2 we have defined principal bundles, that are the most interesting bundles for physics. As an example of these, they stand out the Hopf Bundles. Regarding the physics, electromagnetic and Yang-Mills gauge theories has been explained. Th fiber bundles theory has allowed us to explain these gauge theories from a geometrical, simple and new point of view. We have also seen Aharonov-Bohm with magnetic monopoles, and instantons, as different Hopf bundles. On the other hand, the fact that, ther is a maximum of 40 pages, has forced us to write in a very compact way, and not to write all calculations and demonstrations of theorems. Even so, the reader that is interested in any of them, can resort to them through the correctly indicated references.