Analytical and Numerical Solutions for Emergence of Air Cavities in Ducts and Geysering

Abstract

This Thesis presents a continuous nite element model for the computation of two-phase ows with moving interfaces. The method is based on the Non-Oscillatory Finite Element (NFEM) algorithm and integrates the signpreserving

ux correction methodology, predicting with high accuracy ow dynamics and interface motion. The procedure is composed of three main stages: transport of a bounded phase function to couple uids motion and the contact discontinuity, reinitialisation step to recover resolution of phase eld, and solution of equations of motion, where both incompressible and weakly compressible assumptions are considered. For nearly incompressible ows the continuity equation is modi ed to preserve mass conservation by considering the parametric de nition of density. Flux correction technique takes action on the three aforementioned steps. In phase function advection, limiting process that assures positivity of solution, incorporates a straightforward re nement to remove global mass residuals present in the earliest version of algorithm. Besides, new correction does not endanger e cacy of the original. To reconstruct phase function after transport, a novel non-linear (and conservative) streamlined di usion equation is proposed, with an anisotropic diffusivity comprising arti cial compression and di usive uxes oriented along interface displacements direction. Iterative procedure employed to solve this equation integrates ux correction techniques to keep phase function bounds. Finally, hydrodynamics resolution incorporates an improved bound estimation that includes interface information to substantially reduce nonphysical overshoots appearing along the contact discontinuity. On the other hand, stability of arti cial strati ed ows has been explored in problems involving Kelvin-Helmholtz instabilities. This study indicates that, to avoid nonphysical ampli cation of perturbations, thickness of numerical representation of interface should be reduced to some extent. Then, strategies to decrease transition thickness between both uids are examined, and interface re nement results the most suited. Consequently, a novel inexpensive nested-grid re nement is proposed. The algorithm is also founded in ux-correction principles, ensuring conservation and monotonicity of the variables during dynamical adaptation. E cacy of numerical model is assessed with stringent benchmark tests both for transport/reinitialisation and for two uids interface propagation. Second target of this work is to scrutinise dynamics of emergence and propagation of air cavities and resulting geysering events. Presented numerical model along with supplementary theoretical approaches have been used for this purpose. Analytical model, accomplished by a control volume analysis, is able to predict dynamics of single and consecutive elongated rising bubbles and takes into account gas expansion e ects and free surface position to determine impulsion of water above the bubble. This model also reveals conditions that trigger a sudden bubble decompression, and therefore a severe geysering event. In numerical experiments, weakly compressible

uid assumption is essential for proper momentum transfer between phases in the aforementioned dynamics, particularly for bubble rising process. A rst series of simulations reproduces air cavities propagating in straight and inclined ducts. Results show a good agreement with existing laboratory outputs. A second set of simulations examines ow conditions for emergence of air pockets in ducts, giving rise to simple solutions that provide the required

ow rate to avoid the intrusion of air. Finally, axisymmetric and complete three dimensional versions of the numerical model are used to perform rising Taylor bubbles in vertical ducts and geysering events. These outputs complement analytical results by giving precise ow details, in particular above the ground level.

En esta Tesis se presenta un novedoso modelo continuo de elementos finitos para el cálculo de flujos bifase con interfase móvil. Este modelo está basado en el método no oscilatorio de elementos finitos (cuyo acrónimo es NFEM), que incorpora a su vez una estrategia de corrección de flujos preservando as el signo de la solución. De esta forma, es posible predecir con precisión la dinámica de la interfase. El procedimiento completo consta de tres pasos: transporte de la función de fase, re inicialización de la función de fase para mantener la resolución de la interfase y solución de las ecuaciones del movimiento del flujo, donde se ha tenido en cuenta tantos flujos incompresibles como flujos débilmente compresibles. Para esta segunda hipótesis, la ecuación de continuidad ha tenido que ser modificada, según la expresión paramétrica de la densidad, para mantener la propiedad de conservación de masa. Las técnicas de corrección de flujos se han implementado en los tres pasos descritos anteriormente. Para el paso de transporte, se han incorporado nuevos limitadores que eliminan errores de masa de alto orden presentes en la versión original del NFEM sin mermar la e ciencia del mismo. Por otro lado, para el paso de re inicialización se ha creado una nueva ecuación de difusión conservativa y no lineal. Dicha ecuación alberga una compresibilidad artificial y una difusión orientada en un mismo término de difusividad anisotrópica. El proceso iterativo necesario para resolver la re inicialización incorpora las técnicas de corrección de flujos para mantener los l mites previamente establecidos de la función de fase. Finalmente, para la resolución de la hidrodinámica del flujo, se han incorporado, en el proceso de corrección de flujos, coeficientes de limitación mejorados que tienen en cuenta la posición de la interfase. De esta forma, se ha conseguido eliminar prácticamente por completo las transferencias espurias de cantidad de movimiento entre fases. Por otro lado, la estabilidad de flujos artificialmente estratificados ha sido estudiada en problemas que conllevan inestabilidades tipo Kelvin-Helmholtz. Se ha concluido que, para que no haya una falsa amplificación de perturbaciones, es necesario reducir el espesor de la interfase en las simulaciones numéricas. Por consiguiente, se han investigado diferentes estrategias para conseguir esto, resultando ser el más adecuado el refinamiento de la malla en las zonas cercanas a la interfase. Así, se ha desarrollado un nuevo procedimiento de refinado/desrefinado de mallas anidadas. El nuevo algoritmo también incluye técnicas de corrección de flujos para asegurar la conservación y la monotonicidad de las variables. La e cacia de este modelo ha sido puesta a prueba mediante distintos test numéricos bastante extendidos en la literatura existente. El segundo objetivo de esta Tesis es investigar la dinámica de las cavidades de aire que se propagan en conducciones y de los géiseres que tienen lugar a consecuencia de estas. Para ello se ha utilizado el modelo numérico antes explicado, además de una aproximación anal tica. El modelo teórico ha sido creado a partir de un análisis con volúmenes de control y es capaz de predecir la dinámica de las burbujas tipo Taylor que ascienden en tubos verticales. Además, se tiene en cuenta tanto la compresibilidad del aire dentro de la burbuja como la posición de la superficie libre dentro del tubo, permitiendo as conocer el impulso que sufre la columna de líquido situada por encima de dicha burbuja. Por otro lado, de las ecuaciones que constituyen el modelo se puede obtener una condición que al producirse genera una descompresión brusca de la burbuja y, por consiguiente, un géiser de magnitud considerable. En relación a las simulaciones numéricas, se veri ca que la hipótesis de flujo débilmente compresible es crucial en los experimentos con burbujas tipo Taylor. Esta premisa es necesaria para conseguir una adecuada transferencia de cantidad de movimiento entre el gas de la burbuja y la columna de líquido. La primera tanda de experimentos numéricos trata de reproducir cavidades de aire propagándose en tubos horizontales e inclinados para comparar los resultados obtenidos con las observaciones de laboratorio (existentes en la literatura). La segunda serie está destinada a averiguar las condiciones del flujo circulante por el interior de la tubería que impedir a que el aire entrase en la misma y se formase una cavidad. Gracias a los resultados obtenidos, se han podido definir expresiones semi-analíticas simples que proporcionan esta información. Finalmente se han usado dos versiones del modelo numérico (axisimétrica y tridimensional) para simular burbujas tipo Taylor y el consiguiente géiser. De esta forma, los datos obtenidos, que contienen detalles muy precisos, pueden complementar a los resultados analíticos, sobre todo por encima del nivel de calle.