Theory of Symplectic Twist Maps applied to Point-vortex Dynamics

Abstract

Esta tesis se centra en el estudio de la dinámica de un modelo idealizado en el campo de la dinámica de fluidos, conocido como el problema del vórtice puntual. En un fluido ideal, un vórtice puntual es esencialmente una singularidad de la vorticidad, es decir una delta de Dirac. Los vórtices surgen naturalmente en la atmosfera o en el océano. Su influencia en el transporte pasivo de partículas juega un papel importante en una variedad de disciplinas relacionadas con la hidrodinámica y la geofísica. Este tipo de dinámica aparece también en la física de los condensados de Bose-Einstein. Maten áticamente, nuestro interés también ha sido el estudio de la dinámica alrededor de una singularidad del campo de velocidades en un sistema dinámico de baja dimensión. En concreto, hemos estudiado perturbaciones periódicas a un sistema hamiltoniano integrable en el plano que tiene una singularidad en una o más variables canónicas. El modelo estudiado ha sido el siguiente. Consideremos el hamiltoniano perturbado y el sistema asociado definido en un entorno U n f0g del origen. Físicamente, el sistema puede interpretarse como un modelo de la advección o transporte de una partícula bajo la acción de un vórtice colocado en el origen con un flujo periódico de fondo. Sin perturbación, p = 0, la dinámica del sistema es integrable y las soluciones se corresponden con circulas concéntricos alrededor del origen. La frecuencia de rotación es inversamente proporcional al radio del circulo, de tal manera que tiende a infinito cuando nos acercamos a la singularidad en el origen. A lo largo de la investigación hemos estudiado cómo esta dinámica integrable se ve afectada por la superposición de una función dependiente del tiempo periódica externa p(t; x; y). Metodolog´ıa y resultados En el primer artículo hemos estudiado la estabilidad (en sentido Lyapunov) del origen en el sistema perturbado. Sin perturbación presente, el sistema resulta integrable y el origen es estable en sentido Lyapunov. Mediante un teorema KAM, el teorema Twist de Moser o también llamado el teorema de la curva invariante, hemos obtenido condiciones suficientes sobre la perturbación para garantizar la estabilidad de la singularidad. La aplicación del teorema twist nos permite encontrar una familia de curvas invariantes por la aplicación de Poincar´e asociada al sistema. Esto resulta importante ya que, debido a la baja dimensionalidad del sistema, ´estas actuarán como barreras para las soluciones y por tanto, quedara garantizada la estabilidad del origen. En el segundo articulo hemos aplicado la teoría de Aubry-Mather a nuestro problema. Esta teoría nos ha dado la existencia de conjuntos invariantes para perturbaciones más generales que las consideradas en el articulo anterior. Estos conjuntos invariantes se corresponden con la existencia de soluciones con un número de rotación definido: periódicas para un número de rotación racional y cuasi-periódicas para uno irracional. Para aplicar la teoría necesitamos que la aplicación de Poincar´e asociada al sistema sea una aplicación twist exacto simpléctica definida en el cilindro. Habitualmente, el teorema de Mather exige que la función generatriz (definida a partir de la aplicación de Poincar´e) esté definida en todo el plano R2, sin embargo, en nuestra aplicación la función generatriz queda definida en un subconjunto del plano. Por lo tanto, necesitamos un teorema de extensión para extender el dominio de la función generatriz a todo el plano y así poder aplicar el Teorema de Mather. Contenido de la tesis Esbocemos el contenido de los capítulos que se incluyen en esta tesis. En el primer Capítulo daremos una panorámica general al contenido de la memoria. En el Capitulo 2, presentaremos el modelo físico: vórtice puntual con perturbación. Motivaremos las ecuaciones de movimiento de nuestro modelo y analizaremos algunas propiedades de interés para el estudio. El tercer capitulo está dedicado a revisar las principales herramientas matemáticas utilizadas a lo largo de la investigación. En la Sección 3.1 introduciremos algunos hechos básicos de aplicaciones twist exacto simplecitas definidas en el cilindro y sus propiedades en el correspondiente levantamiento, es decir, la aplicación definida en el recubrimiento universal del cilindro. Definiremos las propiedades exacto simplecita y su interpretación geométrica. Continuaremos con la definición de la propiedad twist y la propiedad de intersección. La siguiente sección, 3.2 está dedicada a estudiar algunas propiedades de la aplicación de Poincare. En las siguientes secciones, 3.3 y 3.4, presentaremos las teorías aplicadas en nuestros resultados, la teoría de KAM y la teoría de Aubry-Mather. En la Sección 3.3 daremos una breve introducción histórica a la teoría KAM con un significado intuitivo y enunciaremos el teorema de la curva invariante de Moser en la versión analítica. La sección 3.4 presenta un teorema de Aubry- Mather generalizado adaptado al estudio del mapa de Poincare correspondiente al problema del vórtice puntual perturbado (0.0.2). Los siguientes capítulos tratan de los resultados de nuestra investigación. El capítulo 4 presentara el resultado relativo a la estabilidad alrededor de la singularidad a través de la existencia de curvas invariantes alrededor del origen. En primer lugar, desde un punto de vista más analítico, parece necesario enunciar una noción matemática precisa de estabilidad en torno a una singularidad. La Sección 4.1 está dedicada a establecer una definición rigurosa de estabilidad de una singularidad en este contexto. Consideraremos la estabilidad perpetua en el sentido de Lyapunov, lo que significa que una solución de (0.0.2) con una condición inicial pequeña permanecerá cerca de la singularidad para siempre. Las secciones restantes de este capítulo están dedicadas a enunciar el teorema de estabilidad para el problema del vórtice puntual perturbado y la demostración correspondiente. El capitulo 5 contiene el resultado relativo a la aplicación de la teoría de Aubry-Mather y la existencia de soluciones periódicas y cuasi-periódicas cercanas a la singularidad. Finalmente, en el capitulo 6 presentaremos un resumen de las conclusiones de ambos resultados. También mostraremos algunos posibles trabajos futuros en la dirección de esta tesis.