Representaciones de generalización y estrategias empleadas en la resolución de tareas que involucran relaciones funcionales. Una investigación con estudiantes de Primaria y Secundaria

Abstract

En esta tesis doctoral se presenta una investigación, organizada en tres estudios, que tiene por objetivo explorar y describir las estrategias y manifestaciones de generalización de estudiantes de educación primaria y primeros cursos de educación secundaria al resolver tareas de generalización en las que hay implícitas relaciones funcionales. Indagamos en cómo los estudiantes representan la generalización y qué estrategias utilizan al resolver las tareas. Para algunos alumnos de primaria también indagamos en cómo la mediación docente les ayuda a generalizar. En consecuencia, parte de nuestra investigación se desarrolla dentro de la propuesta early algebra que, partiendo de una concepción amplia del álgebra, recomienda su integración en el currículo desde los primeros niveles escolares. Complementariamente trabajamos con estudiantes que inician su formación algebraica en los primeros cursos de secundaria, con el interés de comparar sus producciones dadas sus diferentes experiencias educativas y la formación algebraica recibida. El sentido de variabilidad y la relación entre variables, la generalización y su representación sobresalen en la literatura como elementos clave en el desarrollo del pensamiento algebraico de los alumnos (Kaput, 2008; Kieran et al., 2016; Radford, 2018). Especialmente el enfoque funcional del álgebra se consolida como un contexto de abordaje del álgebra escolar a través de la generalización y representación de relaciones entre cantidades que covarían, así como el razonamiento con las mismas (Blanton et al., 2011). Este constituye el enfoque y contexto en que se desarrolla nuestra investigación. Consideramos la generalización como esencia o raíz del álgebra y la expresión de la generalización como parte fundamental del pensamiento algebraico (Kaput, 2008). En este marco de investigación atendemos a tres temáticas: las representaciones de la generalización, las estrategias y la mediación docente. Denominamos representaciones de generalización3 a las formas en que la generalización es puesta de manifiesto y es expresada. Partimos de que el pensamiento algebraico y la generalización se exhiben mediante una variedad de representaciones (e.g., lenguaje verbal, gráficos, representaciones simbólicas) (e.g., Blanton y Kaput, 2005; Kaput, 2008; Carraher et al., 2008), combinaciones de estas y también de otros sistemas semióticos como el gestual (Radford, 2018). Las estrategias son la segunda temática en la que nos hemos enfocado. Desde finales de los noventa los procesos sobre los cuales los estudiantes construyen y desarrollan generalizaciones han recibido una atención reducida en la investigación (García-Cruz y Martinón, 1997). A su vez, diversos estudios reflejan una extendida dificultad de estudiantes tanto de primaria como de secundaria para utilizar estrategias adecuadas para generalizar (e.g., Barbosa et al., 2012; Stacey, 1989; Zapatera Llinares, 2018). Siguiendo estas ideas, el estudio de estrategias para generalizar, particularmente en contextos funcionales, constituyen una temática que requiere ser reforzada desde la investigación. Por último, como tercera temática, atendemos a las acciones o intervenciones docentes en el proceso de aprendizaje de los estudiantes y especialmente en la promoción y desarrollo del pensamiento algebraico. A pesar de la importancia que pueden tener dichas intervenciones en contextos matemáticos, es reducida la literatura que se ha enfocado en estas como informa Leiß y Wiegand (2005). Es aún menor la cantidad de trabajos que se relacionan con la generalización o que se desarrollan bajo el enfoque funcional del álgebra. La investigación recogida en esta memoria es cualitativa, de carácter descriptivo y exploratorio. El primer estudio se lleva a cabo con 8 estudiantes de cuarto curso de primaria (9-10 años) que participan en una entrevista individual en el contexto de un experimento de enseñanza. En el segundo y tercer estudio interviene un total de 313 estudiantes (de 11 a 13 años): 33 de sexto curso de primaria, 167 de primer curso de secundaria y 113 de segundo curso de secundaria quienes resuelven un cuestionario como prueba de acceso a un programa de estímulo del talento matemático. De dicho cuestionario analizamos las respuestas a la primera de las situaciones propuestas, compuesta por dos tareas relacionadas. En el segundo estudio analizamos las producciones de los estudiantes de sexto curso a ambas tareas y en el tercer estudio las respuestas de todos los estudiantes participantes a la primera tarea. Los resultados de la investigación reflejan variedad de representaciones de generalización en contextos funcionales (numérica, genérica, verbal, simbólica y múltiple) y matices en su empleo dependiendo del curso de los estudiantes y el valor específico o indeterminado del caso al que dan respuesta, constituyendo este un aporte de la investigación. Esta variedad de representaciones pone de manifiesto el potencial y pensamiento algebraico de estudiantes de primaria y de alumnos en los primeros cursos de secundaria. Asimismo, los resultados sugieren que la mediación docente (efectuada por una entrevistadora) constituyó un apoyo para que los estudiantes del primer estudio hicieran explícitos sus razonamientos y generalizaciones, en comparación con los otros cursos donde resuelven las tareas de forma individual. La presentación, definición y reconocimiento de mediaciones que han contribuido a los estudiantes a generalizar (estudio 1) constituye otro de los aportes del trabajo. Se reconoce, en general, un mejor desenvolvimiento de los alumnos en los casos que involucran valores específicos cercanos, que en lejanos o cuando implican indeterminaciones, donde pocos generalizan y la mayoría no responde (estudio 2 y estudio 3). Otro resultado que destaca es la dificultad de algunos estudiantes para coordinar con precisión las representaciones de generalización con la relación funcional que utilizan. Estos hallazgos nos hacen suponer una reducida experiencia de los estudiantes de los distintos cursos con tareas de generalización y con prácticas que favorecen la expresión clara y ordenada de sus razonamientos. Por otro lado, la exposición de la diversidad de estrategias que emplearon los estudiantes para resolver las tareas y la profundización en la descripción de las que se relacionaron con las manifestaciones de la generalización, es otra de las contribuciones de este trabajo. El uso de las estrategias dependió de la naturaleza del valor involucrado. Entre todas las estrategias (e.g., conteo, operatorias, proporcionalidad) sobresalió la correspondencia (i.e. estrategia funcional de correspondencia) por ser la estrategia más ampliamente utilizada cuando generalizaron. Los estudiantes fueron flexibles cambiando a esta estrategia al pasar de casos específicos a generales. Ellos utilizaron distintas estructuras de relaciones funcionales, siendo más diversas y complejas las utilizadas y representadas por los estudiantes de secundaria.