Superficies de curvatura constante

Abstract

En la tesis doctoral se aborda el estudio de superficies concurvatura de Gauss constante en los distintos espacios modelo de la geometría. En el primer capítulo se obtienen diversas ecuaciones elípticas que permiten dar estimaciones de la altura, curvatura, curvatura total y volumen encerrado de superficies compactas de curvatura constante acotando una curva plana. Algunas de ellas son válidad para hipersuperficies con curvatura de Gauss-Kronecker constante y otras se generalizan al casod e la geometría hiperbólica. En el segundo capítulo se estudia el problema de existencial y unicidad de una inmersión suponiendo prefijadas la estructura conforme inducida por la segunda forma fundamental y la aplicaciónde Gauss. Concretamente, se desarrolla una teoría paralela a la desarrollada por K. Kenmotsu en caso de curvatura media constante. En este sentido, se resuelve el problema palnteado y se obtiene una representación de las usperficies no degeneradas en términos de la aplicaciónde Gauss y de la estructura conforme que induce la segunda forma fundamental. En los capítulos 3 y 4 de la memoria se hace un estudio exhaustivo de las superficies llanas (curvatura cero) en el espacio hiperbólico. Se consigue representar tales superficies mediante fórmulas en las que intervienen solamente datos holomorfos respecto de la estructura conforme que induce la segunda forma fundamental y se usa dicha representación para la construcción de ejemplos y el estudio de los finales para este tipo de superficies.