Practica Tema 1. Técnicas Cuantitativas II. GECO 22/23

Distribución uniforme continua

Los comandos en R son:

• Función de densidad uniforme: dunif(x,a,b)
• Función de distribución uniforme U(a,b) en x: punif(x,a,b)
• cuantil de orden q de una uniforme U(a,b): qunif(q,a,b)

Ejemplo 1: El número de contribuyentes que se acercan a la ventanilla física de pago de impuestos se considera que sigue una distribución uniforme. Si al cabo de la tarde llegan como máximo 200 contribuyentes, halle la probabilidad de que en una tarde lleguen como minimo 100 contribuyentes, asi como la probabilidad de que lleguen entre 50 y 100 contribuyentes. Obtenga el número medio y la desviación típica de contribuyentes que se espera se acerquen a la ventanilla. NOTA: Ejercicio del libro “Cuadernos de estadística”. Ed. Fleming.

a=0
b=200
#p1=probabilidad de que lleguen como mínimo 100 contribuyentes=1-F(100)
p1=1-punif(100,a,b)
p1

## [1] 0.5

#p2=probabilidad de que lleguen entre 50 y 100 contribuyentes=F(100)-F(50)
p2=punif(100,a,b)-punif(50,a,b)
p2

## [1] 0.25

#media=(a+b)/2
media=(a+b)/2
media

## [1] 100

#dt=((b-a)^2/12)^(1/2)
dt=((b-a)^2/12)^(1/2)
dt

## [1] 57.73503

Ejercicio propuesto: La distribución de un contaminante en una sustancia se distribuye de manera uniforme entre 4 y 20 partes por millón. Se considera tóxica una concentración de 15 o más. Se pide: a) ¿Cuál es la probabilidad de que, al tomarse una muestra, la concentración sea tóxica? b) ¿Cuál es la probabilidad de que, al tomar la muestra, la concentración contaminante oscile entre 5 y 10 partes por millón? NOTA: Ejercicio extraido del libro “Técnicas cuantitativas II. Teoría y ejercicios”. Ed. Fleming.

Distribución gamma

Los comandos en R son:

• Función de densidad gamma (alpha,theta): dgamma(x,alpha,1/theta)
• Función de distribución gamma (alpha,theta) en x: pgamma(x,alpha,1/theta)
• cuantil de orden q de gamma (alpha,theta): qgamma(q,alpha,1/theta)

Ejemplo 2: En una sucursal bancaria, el tiempo de espera (en minutos) hasta la llegada del cliente k-ésimo se puede modelizar mediante una variable aleatoria \(X\) con distribución gamma, con parámetro de forma \(\alpha=4\) y parámetro de escala \(\theta=1/2\). Representa la función de densidad y la función de distribución para valores de \(X\) entre 0 y 12. Calcula la probabilidad de que el tiempo de espera sea inferior a 5 minutos. Obten la media y la varianza. NOTA: Ejercicio adaptado a partir del libro “Practicas de estadística con R”. ed. Pirámide.

alpha=4
theta=1/2
x<-seq(0,12,0.1)
y<-dgamma(x,alpha,1/theta)
plot(x,y,type="l",ylab="Función de densidad")

x<-seq(0,12,0.1)
y<-pgamma(x,alpha,1/theta)
plot(x,y,type="l",ylab="Función de distribución")

#p3=probabilidad de que el tiempo de espera sea inferior a 5 minuto. 
p3<-pgamma(5,alpha,1/theta)
p3

## [1] 0.9896639

#Media=alpha*theta; Varianza=alpha*theta^2
media<-alpha*theta
media

## [1] 2

varianza<-alpha*theta^2
varianza

## [1] 1

Distribución exponencial

Esta distribución es un caso particular de la distribución gamma, cuando \(a=1\). Los comandos en R son:

• Función de densidad exponencial (theta): dexp(x,rate=1/theta)
• Función de distribución exponencial (theta) en x: pexp(x,rate=1/theta)
  
• cuantil de orden q exponencial (theta): qexp(x,rate=1/theta)

Ejemplo 3: Los minutos necesarios para ensanblar una unidad de producción en una cadena de montaje es una variable aleatoria con distribución exponencial de parametro \(\theta=5\). Calcular: a) La probabilidad de que sean necesarios más de 5 minutos. b) La probabilidad de que sean necesarios menos de 10 minutos. c) Obtener el tiempo superado en el 95% de los casos. d) Obtener el tiempo superado en el 5% de los casos. e) P(a<x<b), con \(a\) y \(b\) de los dos apartados anteriores. NOTA: Ejercicio extraido del libro “Técnicas cuantitativas II. Teoría y ejercicios”. Ed. Fleming.

theta=5
#a) p4=probabilidad de que sean necesarios más de 5 minutos=1-F(5)
p4<-1-pexp(5,rate=1/theta)  
p4

## [1] 0.3678794

#b) p5=probabilidad de que sean necesarios menos de 10 minutos=F(10)
p5<-pexp(10,rate=1/theta)  
p5

## [1] 0.8646647

#c) q1=tiempo superado en el 95% de los casos. P(X>q1)=0.95->P(X<q1)=0.05
q1<-qexp(0.05,rate=1/theta)  
q1

## [1] 0.2564665

#d) q2=tiempo superado en el 5% de los casos. P(X>q1)=0.05->P(X<q1)=0.95
q2<-qexp(0.95,rate=1/theta)  
q2

## [1] 14.97866

#e) p6=F(q2)-F(q1)
p6<-pexp(q2,rate=1/theta) - pexp(q1,rate=1/theta)
p6

## [1] 0.9

Ejercicio propuesto: En un servicio a domicilio los pedidos por teléfono se reciben con una frecuencia casi constante. El tiempo en horas que transcurre entre dos llamdas consecutivas sigue una distribución exponencial. Por término medio, el tiempo transcurrido entre dos llamdas consecutivas es de 15 minutos a cualquier hora entre las 9:00 de la mañan y las 9:00 de la noche. Si se recibe una llamada a las 11:30, calcular la probabilidad de que la siguiente llamada sea posterior a las 12:00. NOTA: Ejercicio extraido del libro “Técnicas cuantitativas II. Teoría y ejercicios”. Ed. Fleming.

Distribución beta

Los comandos en R son:

• Función de densidad beta (p,q): dbeta(p,q)
• Función de distribución beta (p,q) en x: pbeta(x,p,q)
• Cuantil de orden q de beta (p,q): qbeta(q,p,q)

Ejemplo 4. Representa la función de densidad de una variable aleatoria que se distribuye según una beta con parámetros \(p=2\) y \(q=5\) para todo el rango de \(x\) entre 0 y 1. ¿Cuál es la probabilidad de que tome un valor inferior a 0.5?

#Representación función de densidad
p=2
q=5
x<-seq(0,1,0.02)
fdensidadbeta<-dbeta(x,p,q) 
plot(fdensidadbeta)

#Calculo probabilidad
p7<-pbeta(0.5,p,q) 
p7

## [1] 0.890625

Distribución Normal

Los comandos en R son:

• Función de densidad normal (mu,sigma): dnorm(mu,sigma)
• Función de distribución normal (mu,sigma) en x: pnorm(x,mu,sigma)
• Cuantil de orden q de normal (mu,sigma): qnorm(q,mu,sigma)

Ejemplo 5: Una empresa recibe 5.000 solicitudes para el pago de un bono de productividad. Dicha productividad se mide con un cuestionario con puntuaciones entre 0 y 10. Si las puntuaciones siguen una distribución N(6.5;4) ¿Cuál es la puntuación mínima que es necesario obtener en el cuestionario para obTener el bono sabiendo que la empresa solo va a conceder 1000 bonos? NOTA: Ejercicio del libro “Cuadernos de estadística”. Ed. Fleming.

#Calculo cuantil P(X>q)=0.2->P(X<q)=0.8
mu=6.5
sigma=sqrt(4)
q2<-qnorm(0.8,mu,sigma) 
q2

## [1] 8.183242

Ejercicio propuesto: La media de las calificaciones de un test es 400 y la desviación típica es 100. Si las calificaciones siguen una distribución normal, calcular: a) El porcentaje de la población que ha obtenido menos de 350 puntos. b) El porcentaje de alumnos con calificaciones entre 300 y 500 puntos. c) El porcentaje de alumnos con calificaciones superiores a 500 puntos. d) La probabilidad de que elegido un alumno al azar su calificación difiera de la media 150 puntos como máximo. e) Los limites del intervalo que contiene al 70% de la población más cercano a la media. NOTA: Ejercicio extraido del libro “Técnicas cuantitativas II. Teoría y ejercicios”. Ed. Fleming.

Distribución Chi-Cuadrado

Los comandos en R son:

• Función de densidad Chi-Cuadrado (n): dchisq(n)
• Función de distribución Chi-Cuadrado (n) en x: pchisq(x,n)
  
• cuantil de orden q de Chi-Cuadrado (n): qchisq(q,n)

Ejemplo 6. Sea una variable que sigue una distribución \(\chi^2\) con 6 grados de libertad. ¿Cuánto vale el percentil 90? ¿Cuál es la probabilidad de que tome un valor inferior a 2.2? NOTA: Ejercicio del libro “Cuadernos de estadística”. Ed. Fleming.

#Calculo percentil 90
n=6
q3<-qchisq(0.9,n) 
q3

## [1] 10.64464

#Calculo probabilidad x<2.2
p8<-pchisq(2.2,n) 
p8

## [1] 0.09958372

Ejercicio propuesto: Sea X una variable aleatoria con distribución \(\chi^2\) con 5 grados de libertad. Calcular los siguientes percentiles: 1, 2.5, 5, 10, 90, 95, 97.5 y 99. NOTA: Ejercicio extraido del libro “Técnicas cuantitativas II. Teoría y ejercicios”. Ed. Fleming.

Distribución t-student

Los comandos en R son:

• Función de densidad t-student (n): dt(n)
• Función de distribución t-student (n) en x: pt(x,n)
  
• cuantil de orden q de t-student (n): qt(q,n)

Ejemplo 7. Sea X una variable que sigue una distribución t-student con 6 grados de libertad. ¿Cuánto vale el percentil 90? ¿Cuál es la probabilidad de que tome un valor inferior a 2.2?

#Calculo percentil 90
n=6
q4<-qt(0.9,n) 
q4

## [1] 1.439756

#Calculo probabilidad x<2.2

p9<-pt(2.2,n) 
p9

## [1] 0.9649489

Ejercicio propuesto: Sea X una variable aleatoria con distribución t-student con 5 grados de libertad. Calcular los siguientes percentiles: 1, 2.5, 5, 10, 90, 95, 97.5 y 99. NOTA: Ejercicio extraido del libro “Técnicas cuantitativas II. Teoría y ejercicios”. Ed. Fleming.

Distribución F-Snedecor

Los comandos en R son:

• Función de densidad F-Snedecor (n,m): df(n,m)
• Función de distribución F-Snedecor (n,m) en x: pf(x,n,m)
  
• cuantil de orden q de F-Snedecor (n,m): qf(q,n,m)

Ejemplo 8. Sea X una variable que se distribuye según una distribución F-Snedecor de 3 y 7 grados de libertad. Obtenga el percentil 90, el percentil 0.05 y el percentil 95. NOTA: Ejercicio del libro “Cuadernos de estadística”. Ed. Fleming.

#Calculo percentil 90, 5 y 95
n=3
m=7
p10<-qf(0.9,n,m) 
p11<-qf(0.05,n,m)
p12<-qf(0.95,n,m)
p10

## [1] 3.074072

p11

## [1] 0.1125272

p12

## [1] 4.346831

Ejercicio propuesto: Sea X una variable aleatoria con distribución F-Snedecor con 6 y 8 grados de libertad. Calcular los siguientes percentiles: 1, 2.5, 5, 10, 90, 95, 97.5 y 99. NOTA: Ejercicio extraido del libro “Técnicas cuantitativas II. Teoría y ejercicios”. Ed. Fleming.