Geometry with octahedral norms and nonlinear geometry of Banach spaces

Abstract

In the present thesis, several problems of diverse nature surrounding the theory of Banach spaces are addressed. Even though full solutions have not always been achieved, constituent advance has been delivered in most of the cases. We are going to subdivide this varied project into three general topics: Isomorphic theory, nonlinear geometry and isometric theory. In respect to the isomorphic theory of Banach spaces, we are mainly interested in properties such as the Krein-Milman property (KMP) and the Radon-Nikodym property (RNP), as well as linear and nonlinear approximation properties. Firstly, we generalize a well-known result by W. Schachermayer on the equivalence between the KMP and RNP under another property called strong regularity. Then, we turn on approximation properties and seize the opportunity to relate the classical version of those properties with their nonlinear counterparts. Specifically, we give a nonlinear description of the Finite Dimensional Decomposition for dual spaces. Secondly, we approach a problem risen by G. Godefroy and N. Ozawa in 2014 where they wonder whether every separable Banach space has a generating compact and convex Lipschitz retract (GCCR). We find sufficient conditions for this retract to exist as well as a necessary condition under a ‘mild’ assumption on the assymptotic shape of the GCCR. We also give a complete solution to the H¨older version of that problem, as well as a construction of a Banach space without good GCCR’s. Strongly connected to the latter problem is N. Kalton’s problem on approximability of separable spaces or, equivalently, the study of the Bounded Approximation property in Lipschitz free spaces over nets of separable Banach spaces. We amend a previously known result from P. H´ajek and M. Novotn´y studying a retractional structure in nets for finite dimensional spaces, spaces with a basis containing c0 and separable L∞-spaces. Finally, we focus on isometric properties of Banach spaces. We start giving a metric characterization of the Daugavet property in vector-valued Lipschitz spaces and then turn on proving that every vector-valued Lipschitz space over a metric space which is not bounded and uniformly discrete is the dual of an octahedral space (the vector-valued Lipschitz free space). We finish this project studying topological stability of open sets under averages on a convex set. In addition to being a highly exclusive property of the unit ball, it is purely geometric and characterizes the family of ℓ1-preduals among all L1-preduals.

En la presente tesis se abordan varios problemas de diversa naturaleza alrededor de la teoría de espacios de Banach. Aunque no siempre se han podido encontrar soluciones completas, en la mayoría de casos se ha conseguido un avance constitutivo. Vamos a dividir este variado proyecto en tres temas generales: Teoría isomorfa, geometría no lineal y teoría isométrica. Con respecto a la teoría isomorfa de espacios de Banach, nuestro principal interés reside en propiedades como la propiedad de Krein-Milman (KMP) o la propiedad de Radon-Nikodym (RNP), así como propiedades de aproximación lineales y no lineales. Primero generalizamos un conocido resultado de W. Schachermayer sobre la equivalencia entre la KMP y la RNP bajo la llamada regularidad fuerte. Después, pasamos a estudiar propiedades de aproximación, relacionando la versión clásica de estas propiedades con su contrapartida no lineal. Concretamente, damos una descripción no lineal de la existencia de descomposiciones finito-dimensionales en espacios duales. En segundo lugar, enfocamos un problema planteado por G. Godefroy y N. Ozawa en 2014, donde se preguntan si en todo espacio de Banach separable existe un retracto Lipschitz convexo, compacto y generador (GCCR). Encontramos condiciones suficientes para que este retracto exista así como condiciones necesarias bajo una ‘leve’ condición sobre el tamaño asintótico del GCCR. También damos una solución completa a la versión Holder de dicho problema y construimos un espacio de Banach sin buenos GCCRs. Fuertemente relacionado con este último problema está el problema de N. Kalton sobre la aproximabilidad de espacios separables, equivalentemente, la propiedad de aproximación acotada en espacios Lipschitz libres sobre redes de espacios de Banach separables. Se mejora un resultado de P. Hájek y M. Novotny, estudiando una estructura retraccional en redes de espacios finito-dimensionales, espacios con base conteniendo a c0 y espacios L∞ separables. Finalmente, nos centramos en propiedades isométricas de espacios de Banach. Empezamos dando una caracterización métrica de la propiedad de Daugavet en espacios Lipschitz vectorvaluados y luego pasamos a probar que el espacio Lipschitz vector-valuado sobre un espacio métrico que no sea a la vez acotado y uniformemente discreto es el dual de un espacio octaedral (su espacio Lipschitz libre vector-valuado). Finalizamos este proyecto estudiando la estabilidad topológica de conjuntos abiertos de un convexo bajo medias. Esta propiedad en la bola unidad, además de ser muy exclusiva, es puramente geométrica y caracteriza a la fimilia de preduales de ℓ1 de entre los más generales preduales de L1.