Aportaciones en Comparación Estocástica y Modelos de Regresión Logística en Muestras Pareadas de Elementos de Sub-espacios de L₂ Finitamente Generados

Abstract

Los datos funcionales de segunda generación, se caracterizan por la imposibilidad de asumir la independencia entre las observaciones funcionales. Esto debido a que el fenómeno subyacente se encuentra condicionado a diseños como series de tiempo funcionales, estudios longitudinales funcionales, medidas repetidas funcionales, entre otros. En ese sentido, el trabajo aquí presentado pretende aportar metodologías en el marco de dicho tipo de datos, tratando diferentes tópicos en el proceso. En cada caso, se asume que los objetos funcionales, dentro de un mismo contexto, son elementos de un mismo subespacio de dimensión finita del espacio de funciones cuadrado integrables L2 para un mismo dominio compacto, lo que permite la utilización de la metodología conocida como expansión básica. En primera instancia, en este trabajo se aborda el tema de la variabilidad y la asociación entre conjuntos de datos funcionales, a partir de una varianza, covarianza y correlación escalares. Se discute brevemente la utilidad de las formas funcionales de algunos estadísticos muestrales propuestos en la literatura, al ser usados como herramientas comparativas. Se conduce también un estudio de simulación que aporta evidencia de la consistencia de las medidas de resumen escalares para datos funcionales estudiadas y se muestran algunos ejemplos de aplicación en datos reales. En segundo lugar, en el campo de la comparación estocástica, motivados por los datos de la positividad de COVID-19 en Colombia, se utiliza la metodología de datos funcionales para examinar si existen diferencias significativas entre dos olas de contagio ocurridas entre el 7 de julio de 2020 y el 20 de julio de 2021. Para este problema, inicialmente se utiliza una prueba t funcional puntual, posteriormente, se utiliza una prueba estadística alternativa para muestras funcionales pareadas. Esta prueba estadística alternativa, que genera un valor-p escalar, proporciona una idea global sobre la diferencia de medias funcionales en un contexto pareado, complementando las pruebas puntuales pareadas para datos funcionales existentes. Por otra parte, ya en el problema de regresión, se presenta una propuesta para extender el modelo de regresión logística funcional – que modela una variable de respuesta escalar binaria a partir de un predictor funcional – al caso donde las observaciones provienen de un diseño de medidas repetidas funcionales. La extensión se aborda incluyendo un efecto aleatorio en el modelo. En este caso, el enfoque de expansión básica suele inducir un problema de multicolinealidad en el modelo multivariado emergente, que se resuelve con el uso de los componentes principales funcionales del predictor funcional, dando como resultado un nuevo modelo logístico funcional de medidas repetidas en componentes principales. La propuesta se contextualiza a través de un estudio de simulación en donde se evalúan los ajustes de cuatro modelos, en tres escenarios distintos para cuatro parámetros funcionales diferentes.