Onto-semiotic analysis of the emergence and evolution of functional reasoning

Abstract

Developing students’ adequate functional reasoning requires paying attention to the design and planning of teaching from the first educational levels. This implies considering and progressively articulating the diversity of meanings of the function, attending to the generality and formalization levels that emerged in its historical evolution. In this paper, we review historical and epistemological studies on function using theoretical tools of the Onto-semiotic Approach to characterize different levels of functional reasoning. We interpret meaning in terms of systems operative and discursive practices related to solving types of problems. In line with previous research, we identify partial meanings of function (operative-tabular, operative-graphic, algebraic-geometric, analytic, arbitrary correspondence between numerical sets, and mapping between arbitrary sets) that should be part of the overall reference meaning in the planning and management of function teaching and learning processes. This study provides a complementary view of the multiple investigations that describe the phylogenesis of the concept of function in mathematics with a historical and epistemological approach.

Desarrollar un adecuado razonamiento funcional en los estudiantes requiere prestar atención al diseño y planificación de la enseñanza de las funciones desde los primeros niveles educativos. Esto supone considerar la diversidad de significados de la función y articularlos de manera progresiva, atendiendo a los niveles de generalidad y formalización emergentes en las etapas de su evolución histórica. En este trabajo revisamos estudios históricos y epistemológicos sobre la función utilizando herramientas teóricas del Enfoque Ontosemiótico para caracterizar distintos niveles de razonamiento funcional. En particular, aplicamos la interpretación del significado en términos de sistemas de prácticas operativas y discursivas relativas a la resolución de tipos de problemas. De acuerdo con investigaciones previas, identificamos significados parciales de la función (operatorio-tabular, operatorio-gráfico, algebraico-geométrico, analítico, correspondencia arbitraria entre conjuntos numéricos y conjuntista) que pueden ser considerados como parte del significado de referencia global en la planificación y gestión de los procesos de enseñanza y aprendizaje de las funciones. Este estudio aporta una visión complementaria de las múltiples investigaciones que describen la filogénesis del concepto de función en matemáticas con un enfoque histórico y epistemológico.

O desenvolvimento de um raciocínio funcional adequado nos alunos requer atenção à conceção e planificação do ensino das funções desde os primeiros níveis de ensino. Isto implica considerar a diversidade de significados de função e articulá-los de forma progressiva, atendendo aos níveis de generalidade e formalização emergentes nas etapas da sua evolução histórica. Neste artigo, fazemos uma revisão dos estudos históricos e epistemológicos sobre função, utilizando ferramentas teóricas da Abordagem Ontossemiótica para caraterizar diferentes níveis de raciocínio funcional. Em particular, aplicamos a interpretação do significado em termos de sistemas de práticas operacionais e discursivas relacionadas com a resolução de tipos de problemas. Na linha de investigações anteriores, identificamos significados parciais de função (operatório-tabular, operatório-gráfico, algébrico- geométrico, analítico, correspondência arbitrária entre conjuntos numéricos e conjuntista) que podem ser considerados como parte do significado global de referência na planificação e gestão dos processos de ensino e aprendizagem de funções. Este estudo fornece uma visão complementar das múltiplas investigações que descrevem a filogénese do conceito de função em matemática com uma abordagem histórica e epistemológica.