Significados atribuidos por estudiantes universitarios de la Universidad Nacional de Costa Rica al concepto de límite de una función en un punto

Abstract

Esta memoria de tesis doctoral pretende caracterizar los significados expresados por estudiantes universitarios cuando se les pregunta por el concepto de límite de una función en un punto. Esta caracterización se realiza en dos momentos diferentes y considerando dos niveles de complejidad cognitiva. En un nivel elemental nos centramos en la caracterización de los hechos matemáticos que los estudiantes expresan, las representaciones que utilizan, las aplicaciones que sugieren y los modos de uso del término límite. En segundo nivel de complejidad, nos centramos en describir los razonamientos sobre el límite que evidencian los estudiantes. El sustento teórico de nuestro estudio corresponde con la noción de significado de un contenido matemático escolar, el cual ha sido ampliamente estudiado y desarrollado en educación matemática por distintos autores. Concretamente, en nuestra investigación empleamos la noción de significado desde una perspectiva semántica planteada por Rico (Rico, 2012; Rico, 2013; 2016a; Rico, 2016b), constituida por tres componentes: la estructura conceptual, los sistemas de representación y los sentidos y los modos de uso. Dentro de este marco del significado de un contenido matemático escolar, los razonamientos se ubican el campo procedimental de la estructura conceptual. Para caracterizar los razonamientos que evidencian los estudiantes en la resolución de tareas matemáticas asociadas al concepto de límite, usamos una actualización del modelo de Toulmin (1958) que proponen Reid y Knipping (2010) y Stylianides (2007) para la educación Matemática. Dicho modelo requiere conocer determinados resultados propios de los límites y la continuidad, por lo que nuestro marco teórico también incluye un apartado matemático en el que hemos anotado definiciones, teoremas y ejemplos relacionados con el concepto matemático de límite de una función. Metodológicamente, este trabajo se enmarca dentro de las investigaciones de diseño mixto, de alcance exploratorio y descriptivo (Cohen et al., 2018; Hernández et al., 2014). Diseñamos dos cuestionarios semánticos (Matthewson, 2004) que nos permitieron recoger información sobre las ideas que tienen los estudiantes sobre límite en dos momentos diferentes: al principio de su instrucción y después de la misma. Los documentos analizados corresponden a producciones escritas proporcionadas por 218 estudiantes de la asignatura Cálculo I de distintas titulaciones de la Universidad Nacional de Costa Rica. El método de análisis de los datos se realizó a través de un análisis de contenido, un análisis cluster jerárquico y un análisis cluster no jerárquico de k-Medias con una iteración. Los datos se organizaron usando un sistema de categorías adaptado de investigaciones previas (Fernández-Plaza et al., 2013b; González-Flores et al., 2021) que, a su vez, utilizan referentes clásicos (p.e., Blázquez y Ortega, 1998; Cornu, 2002; Cottrill et al., 1996; Monaghan, 1991; Sfard, 1991). Este primer sistema de categorías nos permitió caracterizar los significados expresados por los estudiantes usando elementos de un primer nivel de complejidad cognitiva. Adicionalmente, elaboramos otro sistema de categorías basado en los cuatro elementos del modelo de Toulmin adaptado a la educación Matemática por Reid y Knipping (2010) y tres elementos que propone Stylianides (2007) para describir los razonamientos realizados por los estudiantes. Por último, consideramos 3 tipos de errores matemáticos y para ello nos basamos en lo que exponen Ruiz-Hidalgo y Fernández-Plaza (2013). Para este último sistema de categoría realizamos de manera inductiva modalidades de respuesta de los estudiantes. Estos sistemas de categorías nos permiten describir los significados del concepto de límite que expresan los estudiantes de forma ágil y precisa. En cuanto a los resultados, tenemos que al límite lo describen mayoritariamente las nociones de objeto y proceso, lo representan usando representaciones gráficas cartesianas y lo interpretan o usan mediante términos de posición relativa, subrayando aspectos de alcanzabilidad y no rebasabilidad. La mayor diferencia que observamos durante la enseñanza del concepto de límite y después de la enseñanza de este concepto es el nivel de detalle en cada una de las respuestas a las preguntas de los cuestionarios. Durante la enseñanza del límite, las respuestas de los estudiantes tienen un gran nivel de detalle, tanto en las definiciones, en las representaciones y en los términos y modos de uso que brindan, sin embargo, posterior a la enseñanza las respuestas son muy escuetas y disminuye la variedad de elementos en cada una de ellas. Otro detalle digno de resaltar es que durante la enseñanza del límite una gran mayoría de estudiantes evidencian aspectos de alcanzabilidad y no rebasabilidad, mientras que posterior a la enseñanza, casi no están presente en sus respuestas. Esas características nos permiten organizar a los estudiantes en cuatro grupos o perfiles por similitud: significado ingenuo, significado representado gráficamente, significado enriquecido, significado representado no gráficamente. Estas agrupaciones, además, nos permiten comparar los significados expresados por los estudiantes en los dos momentos, antes y después de la formación: los resultados no son concluyentes, pero se observa que un gran número de estudiantes (40%) no cambian su perfil de respuesta, esto es, manifiestan el mismo significado durante y después de su formación. En cuanto a los razonamientos, en las modalidades de respuesta de cada una de las ocho componentes consideradas, observamos variedad en las justificaciones y en los modos de argumentar que brindan los estudiantes en la resolución de tareas matemáticas vinculadas al concepto de límite. Concluimos que el sistema de categorías que hemos elaborado es muy completo y novedoso, ya que a pesar de que se basa está en estudios previos, mejora ampliamente las categorías que han propuesto otros autores, lo que nos permitió analizar las definiciones, las representaciones, las intuiciones, los términos y los modos de uso del concepto de límite que brindan los estudiantes, en dos momentos distintos de su formación. Realizamos una comparación del significado desde un primer nivel de complejidad cognitiva, al puntualizar en los hechos, propiedades, términos, palabras, representaciones, términos y modos de uso del límite, y nos dimos cuenta del cambio del significado que evidencian los estudiantes durante la enseñanza de este concepto y posterior a la misma. El análisis de los razonamientos que hemos realizado lo consideramos atinado e innovador, dado que desconocemos investigaciones en esta línea; creemos que puede ser pionero para futuros estudios relacionados. A partir del análisis de los razonamientos nos introducimos en un nivel de mayor complejidad cognitiva en el marco del significado de un contenido matemático escolar.