Curvature prescription problems on manifolds with boundary
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Cruz Blázquez, SergioEditorial
Universidad de Granada
Departamento
Universidad de Granada. Programa de Doctorado en Física y MatemáticasMateria
Curvature prescription problems Manifolds (Mathematics) Boundary Problemas de prescripción de curvatura Variedades Borde
Fecha
2021Fecha lectura
2021-06-29Referencia bibliográfica
Cruz Blázquez, Sergio. Curvature prescription problems on manifolds with boundary. Granada: Universidad de Granada, 2021. [http://hdl.handle.net/10481/69647]
Patrocinador
Tesis Univ. Granada.; Marie Sklodowska-Curie dell'Istituto Nazionale di Alta Matematica (713485)Resumen
This thesis addresses the study of two semilinear elliptic problems that arise in
Riemannian Geometry. More precisely, we are interested in the prescription of certain
geometric quantities on Riemannian manifolds with boundary under conformal
changes of the metric, namely, the Gaussian and geodesic curvatures on a compact
surface and its boundary, and the scalar and mean curvatures on a manifold of
higher dimension.
Most of the results available in the literature concern closed manifolds, whereas the
boundary cases have been less considered. In that regard, we highlight that the
presence of the boundary leads to a wider variety of phenomena, many of which
nd no counterpart on the closed versions of these problems. In particular, the
variational approach in Chapter 4, and the compactness and existence arguments of
Chapter 5 are strictly related to the presence of boundary.
Furthermore, the focus of our research concerns the case in which both curvatures
are nonconstant, for which there are only a few known results.
These problems admit a variational structure, so we will discuss the existence of
solutions from the point of view of the Calculus of Variations. Sometimes the energy
functionals considered here are bounded from below and a minimizer can be found;
in other cases, though, this is not possible, and the use of min-max theory is needed.
In the latter situation we are led to the blow-up analysis of solutions of approximated
problems.
The work developed in this thesis has given rise to two research papers, [31] and
[32]. Esta tesis comprende el estudio de dos problemas elípticos semilineales que aparecen
en el ámbito de la Geometría Riemanniana. En concreto, estamos interesados en
prescribir determinadas cantidades geométricas en variedades Riemannianas con
borde mediante transformaciones conformes de la métrica, a saber, las curvaturas
Gaussiana y geodésica en una super cie compacta y su borde, y las curvaturas
escalar y media en una variedad de dimensión superior.
La mayor parte de los resultados disponibles se centran en el estudio de estas ecuaciones
en variedades cerradas, mientras que el caso con borde ha sido mucho menos
tratado. En este sentido, destacamos que la presencia de borde da lugar a una mayor
cantidad de fenómenos, muchos de los cuales no encuentran análogo en las versiones
cerradas de estos problemas. En particular, la formulación variacional del capítulo
4, y los argumentos de compacidad y existencia del capítulo 5 están íntimamente
relacionados con la presencia de borde.
Además, el foco de nuestra investigación está puesto en el caso en que las curvaturas
prescritas son no constantes, para los cuales hay solo unos pocos resultados
conocidos.
Este tipo de problemas admite una estructura variacional, de modo que discutiremos
la existencia de soluciones desde el punto de vista del Cálculo de Variaciones. A veces
los funcionales de energía considerados estarán minorados y será posible encontrar
un mínimo global; en otros casos, sin embargo, esto no es posible y el uso de la teoría
mín-máx se hace necesario. En esta última situación, esto nos conduce al análisis
de soluciones de blow-up de problemas aproximados.
El trabajo desarrollado en esta tesis ha dado lugar a dos artículos de investigación,
[31] y [32]. Questa tesi riguarda lo studio di due problemi ellittici semilineari che appaiono nel
campo della Geometria Riemanniana. In particolare, siamo interessati a prescrivere
certe quantit a geometriche su variet a Riemanniane con bordo per mezzo di
trasformazioni conformi della metrica, cio e le curvature Gaussiana e geodetica su
una super cie compatta e il suo bordo, e le curvature scalare e media su una variet a
di dimensione superiore.
La maggior parte dei risultati disponibili si concentra sullo studio di queste equazioni
in variet a chiuse, mentre il caso con bordo e stato trattato molto meno. In relazione
a ci o, evidenziamo che la presenza del bordo produce una pi u ampia variet a di
fenomeni, molti dei quali non trovano una controparte sulle versioni chiuse di questi
problemi. In particolare, la formulazione variazionale del capitolo 4, e gli argomenti
di compattezza ed esistenza del capitolo 5 sono intimamente legati alla presenza del
bordo.
Inoltre, la nostra ricerca e focalizzata sul caso in cui le curvature prescritte sono non
costanti, per il quale ci sono solo pochi risultati noti.
Questo tipo di problemi ammette una struttura variazionale, quindi discuteremo
l'esistenza di soluzioni dal punto di vista del Calcolo delle Variazioni. A volte i
funzionali di energia considerati saranno limitati dal basso e sar a possibile trovare
un minimo globale; in altri casi, tuttavia, questo non e possibile e l'uso della teoria
min-max diventa necessario. In quest'ultima situazione, questo ci porta all'analisi
di blow-up delle soluzioni dei problemi approssimati.
Il lavoro sviluppato in questa tesi ha portato a due articoli di ricerca, [31] e [32].