Lovelock Theories as extensions to General Relativity

Abstract

In this thesis we will study Lovelock Theories, that is, some extensions to General Relativity with particularly good properties, for example, giving second-order differential equations and having Levi-Civita connection as a solution of firstorder formalism. Despite their advantages, these theories had never been studied so deeply and in this thesis we will present several new results. First of all, we explain basic concepts and set the mathematical base. In second chapter, we study the Einstein-Hilbert action. We will see that the solution to the metric-affine formalism is not only the Levi-Civita connection, but a set of connection that we will call Palatini connections. In third chapter, we talk about general properties of every Lovelock Theory, especially about projective invariance, which explains why Palatini connections are solutions of these theories. Finally, we study the Gauss-Bonnet action and we give a non-trivial solution of metric-affine formalism that is physically distinguishable of Levi-Civita, hence demonstrating the non-equivalence between metric and metric-affine formalisms.

En esta tesis se estudian las Teorías de Lovelock, unas extensiones a la Relatividad General con ciertas propiedades especialmente buenas, como por ejemplo, tener ecuaciones de movimiento de segundo orden y la conexión de Levi-Civita como solución al formalismo de primer orden. A pesar de sus ventajas, estas teorías nunca habían sido estudiadas tan a fondo y en esta tesis presentaremos varios resultados novedosos. En primer lugar, se explican conceptos básicos y se sientan las bases matemáticas necesarias. En el segundo capítulo se estudia la acción de Einstein-Hilbert, donde veremos que la solución del formalismo métrico-afín no es únicamente Levi- Civita, sino otro conjunto de conexiones más general que llamaremos conexiones de Palatini. En el tercer capítulo se habla de propiedades globales de todas las Teorías de Lovelock, en especial de la invarianza proyectiva que da sentido a las conexiones de Palatini como solución de las Teorías de Lovelock. Por último, se estudia la acción de Gauss-Bonnet y se da una solución no trivial del formalismo métrico-afín que es físicamente distinguible de Levi-Civita, demostrando así la no equivalencia entre los formalismos métrico y métrico-afín.