Variations for submanifolds of fixed degree

Abstract

The aim of this PhD thesis is to study the area functional for submanifolds immersed in an equiregular graded manifold. This setting extends the sub-Riemannian one, removing the bracket generating condition. However, even in the sub-Riemannian setting only submanifolds of dimension or codimension one have been extensively studied. We will study the general case and observe that in higher codimension new phenomena arise, which do not show up in the Riemannian case. In particular, we will prove the existence of isolated surfaces, which do not admit degree preserving variations: a phenomena observed up to now only for curves, related to the notion of abnormal geodesics.

El objetivo de esta tesis doctoral es estudiar el funcional área de subvariedades inmersas en variedades graduadas equiregulares. Estas estructuras, que generalizan las variedades subriemannianas sin asumir a priori la hipótesis de Hörmander, están definidas sobre una variedad diferenciable N y admiten una filtración H1 μ . . . μHs ascendente de sub-fibrados del espacio tangente compatible con el corchete de Lie. Cuando fijamos un punto p en N, esta filtración es una cadena de subespacios y el grado de un vector en el espacio tangente es igual a ¸ si dicho vector pertenece al subespacio H¸ p pero no pertenece al subespacio H¸≠1 p . Una subvariedad M inmersa en una estructura graduada es también una variedad graduada porque hereda su filtración cortando cada sub-fibrado de la primera con el fibrado tangente TM. El grado puntual se define como la dimensión homogénea de esta nueva cadena H1 fl TpM μ . . . μHs fl TpM. El grado de M es el máximo del grado puntual sobre todos los puntos en M. La noción de área que consideraremos, que se obtiene como límite de áreas riemannianas, depende del grado de la subvariedad. Para calcular la primera variación, tenemos que considerar sólo las variaciones admisibles, que no aumentan el grado durante la variación. Resulta que el campo variacional asociado a una variación admisible cumple un sistema lineal de ecuaciones en derivadas parciales de primer orden. Diremos que un campo vectorial con soporte compacto es admisible cuando cumpla dicho sistema de ecuaciones en derivadas parciales de primer orden. Entonces, la pregunta natural que surge es si un campo vectorial admisible es integrable por medio de una variación admisible. El caso mas simple de inmersión viene dado por una curva “ : I æ R en un variedad graduada. L. Hsu en [56] descubrió que, cuando la aplicación de holonomía es sobreyectiva restringida al intervalo [a, b] μ I, se pueden integrar los campos vectoriales admisibles con soporte en (a, b). Esta hipótesis de regularidad es muy difícil de verificar. Sin embargo, la hipótesis de regularidad fuerte, que es una condición puntual sobre el rango de la matriz de control, es mas fácil de verificar e implica claramente el teorema de deformación anteriormente enunciado. Las curvas no regulares son llamadas singulares y son las geodésicas anormales introducidas por Montgomery en los artículos [73, 74]. Entre estas curvas singulares hay algunas particularmente más interesantes, que son las curvas aisladas en la topologia C1, porque no admiten variaciones admisibles con soporte compacto. La condición de regularidad fuerte se puede generalizar al caso de las subvariedades de dimensión arbitraria y nos permite deducir un teorema de deformación local. Bajo esta hipótesis podemos calcular la primera variación y deducir la ecuación de curvatura media, que en algunos casos puede ser un operador de tercer orden. Aún más interesante es que exhibimos por primera vez un ejemplo de subvariedad aislada en la topología C1. La subvariedad en cuestión es un plano de grado tres inmerso en el grupo de Engel, cuya única variación admisible transversal coincide con la misma inmersión. Solamente cuando la subvariedad es reglada por curvas de grado ÿ0, el sistema de ecuaciones en derivadas parciales se reduce a un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias a lo largo de las curvas características de grado ÿ0. Por tanto, en este caso, podemos generalizar la noción de aplicación de holonomía a dimensiones superiores.