Grupos categóricos simétricos : cohomología y extensiones

Abstract

En la presente memoria hacemos uso de la cohomologia de Takeuchi-Ulbrich de complejos de cocadenas de grupos categoricos simetricos para introducir una teoria de cohomologia generaliza a la cohomologia simplicial usual con coeficientes en grupos abelianos, considerados estos como categorias discretas Y, en definitiva, a la cohomologia singular de CW-complejos. Una de las aplicaciones de la cohomologia singular en topologia algebraica viene dada por la teorema de clasificacion de Eilenberg-MacLane que establece que si Y es un espacio de Eilenberg-MacLane $K(/pi,n)$, con $\pi$ un grupo abeliano, y X es un CW-complejo arbitrario,entonces el conjunto de clases de homotopia de aplicaciones continuas de X en Y es biyectivo al n-esimo grupo de cohomologia de X con coeficientes en el grupo abeliano $\pi$. Nosotros, con ayuda de la cohomologia simplicial introducida, probamos una extension de dicho teorema de clasificación para espacios Y con grupos de homotopia triviales en dimensianes distintas de n y n +1. Ademas, definimos el concepto de 2-extensión especial de un grupo G por un grupo categorico simetrico $\mathbb{A}$ con una accion de G sobre el. Y una vez formalizada la nocion de 2-extension especial anterior, probamos como estas 2-extensiones especiales son clasificadas por el cuarto grupo de cohomologia de Ulbrich de G con coeficientes en $\mathbb{A}$. En este sendido, esta clasificacion significa una extension a una dimension mas de la clasificacion de Ulbrich de su tercer grupo de cohomologia en termino de extensiones centrales de G por $\mathbb{A}$. Combinando esta clasificacion cohomologica de las 2-extensiones especiales con la representatividad homotópica de nuestra cohomologia, y empleando la relación que establecemos entre la cohomologia simplicidad con coeficientes en grupos categoricos simetricos y la cohomologia de Ulbrich en el caso de la accion trivial, concluimos con una clasificacion homotópica de tales 2-extensiones especiales