Entanglement, complexity and entropic properties of quantum systems

Abstract

In this Thesis we use the notions of information entropy, statistical complexity and quantum entanglement, together with the methods of Classical and Quantum Information and the algebraic and asymptotic techniques of the theory of orthogonal polynomials and special functions of Applied Mathematics and Mathematical Physics, to study and quantify the multiple facets of the spatial delocalization of the charge and matter distributions of the multidimensional quantum systems of bosonic and fermionic character. These facets, which determine both the uncertainty measures of the systems and their physical and chemical properties, are manifested in the enormous diversity of multidimensional geometries of the single-particle densities which characterize the non-relativistic mechano-quantically allowed states of such systems, according to the Density Functional Theories based on the Hohenberg-Kohn theorem and generalizations. The aim of this Thesis is to contribute to the emergent informational representation of the quantum systems, which complements the standard representation based on energetic concepts. The analytical determination of the entropy-, complexity- and entanglement-like measures and their associated uncertainty relations is a fundamental task (not yet solved except for the ground state and a few low-lying excited states) even for the very small number of elementary quantummechanical potentials which are utilized to approach and model the self-consistent mean- eld of the physical systems (atoms, molecules,...), as this work shows. Basically, this is because the quantum manifestations of the multidimensional physical systems are generally inaccessible as the associated Schr odinger equation cannot be exactly solved except for a few cases where the quantum-mechanical potential has a known symmetry.

En esta Tesis se utilizan las nociones de entropía de información, complejidad estadística y entrelazamiento cántico junto con los métodos de la Información Clásica y Cuántica y las técnicas algebraicas y asintóticas de la teoría de los polinomios ortogonales y las funciones especiales de la Matemática Aplicada y la Física Matemática, para investigar y cuanticar las múltiples facetas de la deslocalización espacial de las distribuciones de carga y de materia de los sistemas físicos multidimensionales de carácter bosónico y fermiónico. Tales facetas, que determinan tanto las medidas de incertidumbre de tipo entrópico y de complejidad como sus propiedades físicas y químicas, se manifiestan en la enorme diversidad de geometrías multidimensionales de las densidades monoparticulares que caracterizan los estados mecano-cuánticos permitidos no-relativistas de tales sistemas, según la Teoría Funcional de la Densidad de Hohenberg-Kohn y generalizaciones. El objetivo de esta Tesis es contribuir a la descripción teórico-informacional emergente de los sistemas cuánticos multidimensionales, que complementa la representación estándar basada en los conceptos energéticos. La determinación analítica de las magnitudes entrópicas, de complejidad y de entrelazamiento y sus relaciones de incertidumbre asociadas es una tarea básica (a un no resuelta salvo para el estado fundamental y unos pocos estados excitados de baja energía), incluso para el escaso número de potenciales mecano-cuánticos elementales que suelen usarse para aproximar y modelizar el potencial de campo medio autoconsistente de los sistemas físicos (átomos, moléculas,...), tal como se muestra en este trabajo. Esto se debe a que las manifestaciones cuánticas de los sistemas físicos multidimensionales son básicamente inaccesibles porque la ecuación de Schrodinger asociada no puede resolverse exactamente salvo para unos pocos casos que corresponden a un potencial cuántico con alguna simetría conocida.