Ajuste y estudio de fenómenos dinámicos mediante procesos de difusión de tipo logístico: Aplicación a fenómenos de crecimiento

Abstract

La modelización matemática se ha convertido en una herramienta fundamental en la sociedad de nuestros días, estando presente en diversos campos de investigación.

El estudio matemático de fenómenos de crecimiento comienza con el uso de curvas de crecimiento como medio fundamental para describir el desarrollo de una población y predecir con garantías su evolución futura. La más conocida y simple de estas curvas de crecimiento es la curva logística, introducida en el siglo XIX como extensión del modelo exponencial malthusiano, y de la que existen numerosas modificaciones (curvas de tipo logístico).

Sin embargo, el uso de tales herramientas se desarrolla en un contexto determinista, lo que supone una importante restricción pues no pueden tenerse en cuenta los numerosos factores que, ya sea por complejidad, desconocimiento o dificultad en la medida, influyen directamente en la evolución del fenómeno a estudio.

Por todo ello se hace necesario un marco teórico que permita extender estos modelos deterministas a un plano estocástico. En el ámbito del crecimiento, esto se consigue mediante el empleo de procesos de difusión.

El objetivo fundamental consistente en obtener difusiones cuya tendencia siga una curva logística requiere del uso de un proceso adecuado del que se puedan conocer, de manera explícita, sus funciones asociadas más representativas. En este trabajo se aborda, como primera cuestión, el tratamiento de un proceso de difusión gaussiano con media logística y el ajuste de los momentos infinitesimales que lo caracterizan.

Al objeto de extender estos desarrollos a modelos estocásticos más complejos y con la idea de unificar los numerosos comportamientos de tipo logístico, se introduce también el concepto de curva logística generalizada, desde un enfoque funcional y no solo paramétrico.

Aprovechando la metodología empleada, se avanza en el desarrollo de un proceso de difusión cuya función media sea la curva logística generalizada, de manera que sus principales características sean expresables en base a una función genérica que permita englobar todos los procesos con tendencia de tipo logístico en uno solo.

Finalmente, y atendiendo a las aplicaciones del proceso definido, se considera como caso particular la construcción de la llamada difusión hiperbolástica de tipo I, abordando el estudio de inferencia a partir de observaciones. Debido a la complejidad analítica de las ecuaciones de verosimilitud, así como a su dependencia del conjunto de observaciones, se hace uso del algoritmo metaheurístico Firefly, adaptándolo al contexto de los procesos de difusión y aplicándolo tanto a escenarios reales como simulados.