The principle of least action in stochastic processes

Abstract

El temario que desarrollaremos en esta tesis se resume bajo el lema: "Todo lo que usted nunca quiso saber sobre procesos estocásticos y, sin embargo, le contaron".

Comenzamos el trabajo con una introducción para orientar la temática del presente trabajo, justificándola histórica y lógicamente, en el capítulo 1.

En el capítulo 2 daremos una descripción sobre cómo pueden los principios variacionales englobar una gran cantidad de problemas, e incluso abordar otros nuevos. Utilizaremos como modelo la propia historia. Mostraremos concretamente la secuencia de ideas que llevaron a Fermat a enunciar lo que podríamos llamar hoy el "principio optimal primigenio" sobre la propagación de la luz, y que posteriormente inspirase a Bernoulli la forma de resolver otro problema, ahora de la mecánica. Esto servirá para establecer el dispositivo del que haremos uso en el resto de la tesis, a fin de construir lo que nos hemos propuesto, insinuado ya desde el título de este trabajo.

En el capitulo 3 daremos una breve introducción de la teoría de procesos estocásticos a la Kolmogorov. También abordaremos los procesos de Markov, pues éstos describen una grandiosa variedad de sistemas físicos, químicos, biológicos y económicos.

En el capítulo 4 daremos una breve introducción al calculo variacional y a una formulación lagrangiana estándar. Probaremos que es posible utilizarla para reformular la dinámica que proviene de la teoría de procesos estocásticos de Kolmogorov. Nos referimos a aquellos procesos que satisfacen las ecuaciones de Chapman-Kolmogorov. Daremos una funcional concreta para el lagrangiano, comenzando con el caso en que las variables aleatorias toman valores en un conjunto numerable. Incluiremos una descripción dual de las ecuaciones de Kolmogorov, denominadas forward y backward, unificadas en una misma funcional lagrangiana. Esta formulación nos lega una estructura simpléctica, i.e. una posible formulación geométrica de los procesos estocásticos. Junto con ella será posible construir incluso un formalismo hamiltoniano de los procesos estocásticos de esta clase, con un breve paso por la geometría simpléctica. Finalmente daremos los pasos para la construcción de densidades lagrangianas para el caso en que las variables aleatorias sean continuas, lo que constituirá una teoría de campos de los "procesos estocásticos kolomogorovianos".

En el capitulo 5 introduciremos los conceptos de covarianza de las ecuaciones de evolución, heredadas de la formulación lagrangiana. Estudiaremos la posibilidad de conectar dos procesos cualesquiera de esta categoría vía una transformación local o gauge. En otras palabras, probaremos que los procesos kolmogorovianos son equivalentes uno a uno. Daremos paso a las ideas de nuestro artículo "Equivalent Markov processes under gauge group", Phys. Rev. E. 92, 052132.

En el capítulo 6 construiremos un modelo, con aplicación a la biología, para poner a prueba la hipótesis acerca del uso práctico de las transformaciones gauge. Dicho modelo trata sobre el cálculo del número de ancestros de una especie que se reproduce de manera biparental. Haremos referencia a nuestro artículo "Markov chain approach to the distribution of ancestors in species of biparental reproduction", Phys. Rev. E. 90, 022125.