Las soluciones periódicas de una ecuación de la cuerda vibrante con disipación

Abstract

En la presente tesis se hace un estudio de la ecuación de sine-Gordon forzada y con rozamiento,

utt(t,x)-uxx(t,x)+cut(t,x)+a sin u (t,x)=f(t,x)

Más concretamente,se establecen resultados referentes a las soluciones periódicas(en las dos variables) de esta ecuación. Para ello se utilizan el método de sub y super-soluciones y la teoría de grado. El objetivo es generalizar varios resultados conocidos para las soluciones periódicas de la ecuación del péndulo forzado,

x""(t)+cx¿(t)+a sin x(t)=f(t)

Se divide la tesis en tres capítulos. En el primero se establece como resultado principal un principio del máximo para las soluciones periódicas de la ecuación del telégrafo,

utt-uxx-cut+LAMDA u=f(t,x)

A partir detal principio se justifica la utilización del metodo de sub y super-soluciones.

En el segundo capítulo se usan dos definiciones de índice para las soluciones periódicas y aisladas de la ecuación de evolución dada por

ü+cü+lu=f(t,u)

donde l es un operador lineal, autoadjunto, no acotado y coercivo. Como resultado principal, se establece la equivalencia de las dos definiciones. Para poder establecer tal equivalencia se hace uso de la clase de operadores de tipo ALFA-contractivo. Además, se obtiene una condición necesaria para tener soluciones asintóticamente estables.

En el tercer capítulo se utilizan las herramientas construidas en los dos anteriores para obtener resultados de existencia de soluciones periódicas (aplicación del método de sub y super-soluciones) y sobre multiplicidad e inestabilidad de tales soluciones(aplicaciones de la teoría de grado).