Métodos asintoticos en ecuaciones en derivadas parciales originadas en teoría cinética y cuántica

Abstract

Esta tesis consta de una introducción general y cinco capítulos correspondientes a cinco trabajos de investigación cuyo punto en comúm es su orígen en la teoría de semiconductores.En el segundo capítulo (primero tras la introducción)se analiza rigurosamente el límite de campo alto del sistema Vlasov-Poisson-Fokker-Plank (VPFP) cuando el recorrido libre medio térmico tiende a cero. Además se analizan propiedades de existencia y unicidad del sistema límite obtenido dependiendo de la dimensión espacial y del caracter atractivo o repulsivo del modelo.Motivados por este estudio en una dimensión, y buscando propiedades de unicidad que permitan destacar la solución obtenida como límite de campo alto en el capítulo 3 se realiza un completo estudio de unicidad en leyes de conservación para datos iniciales débiles. Se demuestra que dos conceptos de solucióm, solución entrópica y solución admisible, son equivalalentes e incluso debilitan la hipótesis para obtener una única solución fisicamente relevante.En erl siguiene capítulo se conectan, mediante el método de cancelación de la viscosidad, el límite parabólico de VPFP y el hiperbólioco o de campo alto estudiado enn el capítulo 2. Se prueba con rigor que el primero no es más que una pertubación estable de tipo viscoso del segundo usando diversas técnicas dependiendo de la dimensión espacial de definición.Además se estudian probabilidades de regularidad y de explosión en tiempo finito para el primero de los sistemas. Los dos últimos capítulos constituyen el estudio de modelos cuánticos de esta memoria. En ellos se deduce y estudia un modelo matemático que describa la dinámica de un electrón que atraviesa una red iónica, un polarón. En el capítulo 5 bajo una hipótesis de interacción de tipo armónica y local entre los iones del cristal, se deduce un nuevo modelo para la evolución del polarón que es una variante del sistema clásico de Schröndiger-Poisson. En este nuevo modelo aparecen efectos de "memoria" que hacen que el potencial no se produzca de forma instantánea a partir de de la densidad de carga asociada al electrón, sino que dependerá de todos sus estados anteriores. Tras un estudio de existencia y unicidad, se analizan las soluciones estacionarias y su estabilidad. En el último capítulo se generaliza el modelo anterior, asumiendo que las interacciones de los iones de la red es global, haciendo aparecer un operador de tipo convolutivo en la ecuación de Poisson. El estudio se completa analizando la existencia y unicidad del modelo con datos iniciales L2 y H1