Mathematical Optimization for the Design of Complex Networks

Abstract

Esta tesis aborda el estudio de métodos matemáticos de optimización orientados al diseño de redes complejas, con un enfoque particular en sus aplicaciones dentro de la ingeniería naval y los sistemas industriales. El objetivo central es desarrollar nuevos modelos de optimización que integren de manera explícita restricciones estructurales y operativas, con el fin de mejorar el diseño de sistemas como tuberías espaciales y bandejas de cables. Algunos de estos modelos también permiten el análisis y la manipulación de sistemas dinámicos.

Las metodologías propuestas se basan en Programación Lineal Entera Mixta (MILP), Programación Cónica Entera Mixta de Segundo Orden (MISOCP) y programación fraccionaria generalizada, las cuales se emplean para formular y resolver diversos problemas asociados al diseño de redes.

La estructura de la tesis es la siguiente:

El capítulo 1 establece el marco teórico, determina los objetivos y contextualiza la motivación de esta investigación. A partir de esta base, los capítulos siguientes abordan desafíos específicos dentro de contextos industriales e ingenieriles:

El capítulo 2 se centra en el enrutamiento óptimo de tuberías espaciales en entornos de ingeniería. Se propone un modelo matemático orientado a minimizar la longitud total de la tubería, considerando tanto los obstáculos espaciales como las restricciones físicas de diseño.

El capítulo 3 estudia la ubicación óptima de bandejas de cables en espacios navales, un componente clave en la arquitectura de embarcaciones. Las formulaciones MILP desarrolladas para estos problemas se resuelven mediante técnicas de ramificación y corte, complementadas con heurísticas específicas. Los modelos se validan a través de experimentos computacionales y casos de estudio reales.

El capítulo 4 analiza la configuración de árboles de longitud mínima bajo topologías fijas, con aplicaciones en el diseño de infraestructura industrial. Se introducen diversas formulaciones matemáticas, incluyendo un modelo MISOCP que incorpora restricciones de tipo cónico de segundo orden para representar de forma precisa las distancias euclidianas. Posteriormente, la discusión se amplía hacia el diseño esquemático de sistemas de cableado industrial en espacios tridimensionales. En este contexto, se integran restricciones espaciales —como márgenes de seguridad y evitación de obstáculos— dentro de un marco basado en MILP, el cual se optimiza mediante una descomposición jerárquica que refleja la lógica del cableado industrial y mejora la escalabilidad del enfoque.

El capítulo 5 introduce el concepto de Factor de Amplificación Máxima (MAF), una métrica innovadora diseñada para identificar subsistemas autoamplificantes en hipergrafos. Se desarrollan modelos de programación no lineal, tanto fraccionarios como enteros mixtos, con aplicaciones al análisis de sistemas dinámicos.

Finalmente, el capítulo 6 sintetiza los principales hallazgos y esboza posibles líneas de investigación futura.

Esta tesis doctoral contribuye al avance del campo de la optimización matemática aplicada al diseño de redes complejas, mediante la formulación de nuevos modelos, estrategias resolutivas y aplicaciones prácticas. Aborda problemas previamente inexplorados y propone algoritmos escalables, validados tanto en escenarios industriales como en escenarios aleatorios. El trabajo establece una base sólida para el desarrollo de futuras herramientas de optimización con implicaciones significativas en la planificación de infraestructuras y el diseño de ingeniería moderno.

This dissertation explores mathematical optimization methods tailored for the design of complex networks, with a focus on applications in naval engineering and industrial systems. The primary objective is to develop novel optimization models that integrate structural and operational constraints to improve the design of systems such as spatial pipelines and cable trays. Some of these optimization models also allow us to analyze and manipulate dynamic systems. The proposed methodologies leverage Mixed-Integer Linear Programming (MILP), Mixed-Integer Second-Order Cone Programming (MISOCP), and generalized fractional programming to formulate and solve a diverse range of network design problems.

The structure of the thesis is as follows:

Chapter 1 establishes the theoretical framework, identifies the objectives and contextualizes the motivation behind this research. Building on this foundation, subsequent chapters tackle domain-specific challenges in industrial and engineering contexts.

Chapter 2 focuses on the optimal routing of spatial pipelines in engineering environments. A mathematical model is formulated to minimize total pipeline length while accounting for spatial obstacles and physical design constraints.

Chapter 3 addresses the optimal placement of cable trays in naval environments, a critical aspect of ship architecture. For both pipeline routing and cable tray layout, MILP formulations are solved using branch-and-cut techniques, complemented by custom heuristics. The models are validated through computational experiments and tested on real-world engineering instances.

Chapter 4 starts exploring the configuration of minimum-length trees under fixed topologies, with applications in industrial infrastructure layout. Several mathematical formulations are presented, including a MISOCP model that incorporates second-order cone constraints to accurately handle Euclidean distances. Following this presentation and analysis, the discussion extends to the schematic layout of industrial wiring systems in three-dimensional space. Spatial constraints — such as safety margins and obstacle avoidance — are incorporated within a MILP-based framework, enhanced by a hierarchical decomposition that reflects industrial wiring logic and improves scalability.

Chapter 5 introduces the Maximal Amplification Factor (MAF), a novel metric designed to identify self-reinforcing subsystems in hypergraphs. This chapter develops both fractional and mixed-integer nonlinear programming models applicable to the analysis of dynamical systems.

Chapter 6 synthesizes the findings and outlines avenues for future research.

This dissertation advances the field of mathematical optimization for complex network design by introducing new models, solution strategies, and practical applications. It formulates previously unaddressed problems and delivers scalable algorithms validated on both industrial and dynamical systems. The work lays a foundation for future developments in intelligent, domain-aware optimization tools, with broad implications across infrastructure planning and modern engineering design.