Una estructura de retículo para hesitant fuzzy sets

Abstract

La intención de este Trabajo de Fin de Grado es principalmente didáctica. El objetivo principal es desarrollar el artículo A lattice structure on hesitant fuzzy sets, aportando ejemplos y gráficos e incluyendo los requisitos previos para facilitar su comprensión y estudio. Los principales objetivos de este trabajo son los siguientes: - Obtener los conocimientos básicos sobre teoría de conjuntos difusos y retículos. - Conocer algunas de las distintas extensiones difusas. - Comprender el orden simétrico sobre el conjunto de las partes no vacías de [0, 1] y la estructura de retículo que aporta a dicho conjunto. La estructura de este trabajo es como sigue. En la primera parte de este TFG se desarrollan los conocimientos previos necesarios para este trabajo. El Capítulo 1 introduce algunos conceptos sobre órdenes y retículos, así como el concepto de conjunto difuso, y extiende algunos conceptos de la teoría clásica de conjuntos a estos conjuntos difusos. Por último, recorre brevemente algunas de las extensiones difusas más relevantes para este Trabajo de Fin de Grado, como son las extensiones L-difusas, T2FS o IVFS. El Capítulo 2 presenta los SVFS (Set Valued Fuzzy Sets) y las operaciones propuestas para esta extensión. Posteriormente se define el concepto de HFS (Hesitant Fuzzy Set) así como las operaciones propuestas por Torra, demostrando que no cumplen las condiciones necesarias para dar estructura de retículo. Se presenta así el problema al que se da solución en el artículo A lattice structure on Hesitant Fuzzy Sets. En la segunda parte se desarrolla en profundidad el artículo citado, teniendo como objetivo no solo la corrección matemática y el desarrollo del orden simétrico, sino la claridad en las explicaciones y la ejemplificación. El Capítulo 3 desarrolla los órdenes a derecha y a izquierda, definidos en las partes no vacías y cerradas por la derecha y por la izquierda respectivamente. Estos órdenes precederán al orden simétrico, que se desarrolla en el Capítulo 4, en el cual se estudian en primer lugar algunas propiedades del orden simétrico, y a continuación se obtienen las operaciones ínfimo y supremo para dicho orden, obteniendo así la estructura de retículo deseada. El capítulo concluye demostrando que el orden simétrico es compatible con las operaciones de Zadeh para FS y HFS, probando así que el orden simétrico es la solución del reto propuesto por Bustince y otros: “Un problema abierto interesante es dotar a SVFS de una estructura de retículo de forma que la unión y la intersección de Zadeh se preserven al restringirse a FSs.”.