Modelos matemáticos para los resultados de interacciones bióticas

Abstract

El propósito principal de esta tesis doctoral fue abordar y resolver algunos problemas abiertos en el campo de la ecología matemática. La investigación se centró en el estudio de dos nuevos modelos basados en ecuaciones diferenciales y sistemas dinámicos no lineales. Primero, se analizó un modelo ecológico que describe interacciones bióticas periódicas entre dos especies, donde los resultados de las interacciones pueden variar de manera continua entre efectos positivos y negativos, desafiando las clasificaciones tradicionales de interacciones ecológicas. Este modelo es una extensión del clásico modelo de Rosenzweig-MacArthur, incorporando un parámetro Pi(t) que varía periódicamente, representando la proporción de eventos de interacción con resultados positivos para cada especie. Para desarrollar este análisis, se utilizan varias teorías y técnicas clásicas en sistemas dinámicos y ecuaciones diferenciales. Se aplica el criterio de estabilidad de Lyapunov para estudiar la estabilidad de puntos de equilibrio y soluciones periódicas, reemplazando los equilibrios tradicionales por soluciones periódicas debido a la periodicidad de Pi(t). Además, se utiliza un teoría de perturbación para demostrar la existencia y unicidad de soluciones periódicas estables, mostrando que las pequeñas variaciones en los parámetros no afectan la estabilidad global del sistema. Se identifican bifurcaciones transcríticas, donde la estabilidad de los equilibrios cambia, lo que es crucial para entender cómo las variaciones en Pi(t) influyen en el sistema. La estabilidad asintótica de las soluciones periódicas se asegura mediante una función de Lyapunov, la cual decrece a lo largo de las trayectorias del sistema, asegurando la convergencia hacia un estado estable. Se derivan cotas superiores e inferiores para las soluciones del sistema, garantizando que las soluciones periódicas se mantengan dentro de un rango específico. Los resultados obtenidos indican que, bajo condiciones específicas, especialmente cuando la competencia intraespecífica es más fuerte que la inter-específica, es posible la coexistencia estable de ambas especies. Se demuestra que la inclusión de variabilidad periódica en las interacciones refleja condiciones ecológicas reales, como cambios estacionales y evolutivos, subrayando la importancia de considerar estos factores temporales en el modelo. Los experimentos numéricos confirman estos resultados analíticos, mostrando que la teoría predice correctamente la existencia y estabilidad de soluciones de coexistencia. En segundo lugar, se desarrolló un modelo de metapoblación para estudiar la interacción entre la cosecha no letal de productos forestales no maderables (NTFPs) y la fragmentación de hábitats en paisajes ecológicos. Este modelo fue diseñado para investigar estrategias de cosecha racionales que maximicen el rendimiento sostenible (MSY) mientras se asegura la viabilidad a largo plazo de las poblaciones de plantas en ecosistemas fragmentados. El modelo planteado se basó en la teoría de metapoblaciones y utilizó ecuaciones diferenciales ordinarias para describir las dinámicas de biomasa mediadas por dispersión de semillas entre parches. A diferencia de los modelos clásicos, la conectividad entre parches se consideró dependiente de la densidad y de la hostilidad del paisaje, lo que añade una mayor complejidad teórica. Las ecuaciones del modelo incorporaron términos logísticos modificados que reflejan el crecimiento poblacional intrínseco de las plantas, incluyendo los efectos de la fragmentación y las tasas de cosecha. Para el análisis matemático, se emplearon técnicas de sistemas dinámicos y teoría de estabilidad para explorar el comportamiento asintótico del modelo y garantizar la viabilidad de las poblaciones a largo plazo. El modelo permitió derivar condiciones bajo las cuales el sistema alcanza estados estacionarios que maximizan el rendimiento sostenible. También se analizaron casos de conectividad simétrica y asimétrica entre parches, proporcionando fórmulas explícitas para calcular las tasas óptimas de cosecha según los parámetros del sistema. Los resultados analíticos y numéricos mostraron que la conectividad entre parches desempeña un papel clave en la optimización del rendimiento máximo sostenible (MSY). Niveles bajos de conectividad pueden incrementar el rendimiento en comparación con sistemas desconectados. Cuando la conectividad es suficientemente alta, el MSY puede incrementarse de manera lineal o no lineal. En este régimen, la cosecha se concentra en el parche que recibe la mayor transferencia de semillas, mientras que el otro actúa como reserva, manteniendo su biomasa en equilibrio, en niveles bajos pero nunca nula, gracias a la dinámica de dispersión del sistema, sin que ello implique necesariamente una extinción local. Además, se destacaron diferencias significativas entre escenarios de conectividad simétrica y asimétrica, revelando comportamientos no triviales en la dinámica del sistema. En términos ecológicos, este modelo resalta la importancia de gestionar la conectividad del paisaje para equilibrar la explotación sostenible de recursos y la conservación de las plantas. Estos hallazgos constituyen un aporte relevante para el manejo de recursos naturales en ecosistemas fragmentados, proporcionando herramientas teóricas basadas en matemáticas aplicadas que contribuyen al entendimiento y manejo sostenible de los recursos forestales.

The main purpose of this doctoral thesis was to address and resolve some open problems in the field of mathematical ecology. The research focused on the study of two new models based on differential equations and nonlinear dynamical systems. First, an ecological model describing periodic biotic interactions between two species was analyzed, where the outcomes of the interactions can vary continuously between positive and negative effects, challenging traditional classifications of ecological interactions. This model is an extension of the classical Rosenzweig-MacArthur model, incorporating a parameter Pi(t) that varies periodically, representing the proportion of interaction events with positive outcomes for each species. To develop this analysis, several classical theories and techniques in dynamical systems and differential equations were employed. The Lyapunov stability criterion was applied to study the stability of equilibrium points and periodic solutions, replacing traditional equilibria with periodic solutions due to the periodicity of Pi(t). Additionally, perturbation theory was used to demonstrate the existence and uniqueness of stable periodic solutions, showing that small variations in the parameters do not affect the global stability of the system. Transcritical bifurcations were identified, where the stability of equilibria changes, which is crucial for understanding how variations in Pi(t) influence the system. The asymptotic stability of the periodic solutions was ensured through a Lyapunov function, which decreases along the system’s trajectories, guaranteeing convergence to a stable state. Upper and lower bounds for the system’s solutions were derived, ensuring that the periodic solutions remain within a specific range. The results obtained indicate that, under specific conditions, especially when intraspecific competition is stronger than interspecific competition, stable coexistence of both species is possible. It was shown that the inclusion of periodic variability in interactions reflects real ecological conditions, such as seasonal and evolutionary changes, highlighting the importance of considering these temporal factors in the model. Numerical experiments confirmed these analytical results, showing that the theory correctly predicts the existence and stability of coexistence solutions. Secondly, a meta-population model was developed to study the interaction between non-lethal harvesting of non-timber forest products (NTFPs) and habitat fragmentation in ecological landscapes. This model was designed to investigate rational harvesting strategies that maximize the sustainable yield (MSY) while ensuring the long-term viability of plant populations in fragmented ecosystems. The proposed model was based on meta-population theory and utilized ordinary differential equations to describe biomass dynamics mediated by seed dispersal among patches. Unlike classical models, connectivity between patches was considered density-dependent and influenced by landscape hostility, adding greater theoretical complexity. The model equations incorporated modified logistic terms that reflect the intrinsic population growth of plants, including the effects of fragmentation and harvesting rates. For the mathematical analysis, techniques from dynamical systems and stability theory were employed to explore the asymptotic behavior of the model and ensure the long-term viability of populations. The model allowed for the derivation of conditions under which the system reaches steady states that maximize sustainable yield. Cases of symmetric and asymmetric connectivity between patches were also analyzed, providing explicit formulas to calculate optimal harvesting rates based on system parameters. The analytical and numerical results showed that connectivity between patches plays a key role in optimizing the maximum sustainable yield (MSY). Low levels of connectivity can increase yield compared to disconnected systems. When connectivity is sufficiently high, MSY can increase either linearly or non-linearly. In this regime, harvesting is concentrated in the patch that receives the greatest seed transfer, while the other acts as a reserve, maintaining its biomass in equilibrium, at low levels but never null, due to the system’s dispersal dynamics, without necessarily implying local extinction. Additionally, significant differences were highlighted between symmetric and asymmetric connectivity scenarios, revealing non-trivial behaviors in the system’s dynamics. From an ecological perspective, this model emphasizes the importance of managing landscape connectivity to balance sustainable resource exploitation and plant conservation. These findings represent a significant contribution to the management of natural resources in fragmented ecosystems, providing theoretical tools based on applied mathematics that contribute to the understanding and sustainable management of forest resources.