Controllability properties for a class of degenerate or/and singular parabolic and hyperbolic systems

Abstract

This thesis investigates the control of parabolic and hyperbolic equations, with a focus on the boundary controllability of degenerate and singular partial differential equations. The thesis is divided into two main parts: the control of parabolic equations and the control and stabilization of hyperbolic equations. Part I: Control of Parabolic Equations The first part of the thesis addresses boundary controllability for degenerate and singular parabolic equations, specifically examining pointwise control problems and systems where control is applied to only one of the coupled equations. In Chapter 2, we examine the pointwise controllability of a one-dimensional degenerate/singular parabolic equation, proving the necessary and sufficient conditions for both approximate and null controllability. Additionally, we show that there exists a minimal time for pointwise null controllability, contributing to the understanding of control times in such systems. In Chapter 3, we study the boundary controllability of two coupled degenerate/singular parabolic equations, considering both approximate and null boundary controllability. We provide estimates for the null-control cost, relying on spectral methods, the moment method by Fattorini and Russell, and biorthogonal families. Chapter 4 extends this analysis to a nonlinear system, focusing on the local boundary controllability. We establish boundary null controllability for the linear system and provide an estimate for the null-control cost, which leads to proving local exact boundary controllability to zero for the nonlinear system. Part II: Control and Stabilization of Hyperbolic Equations The second part of the thesis focuses on control and stabilization of hyperbolic equations. In Chapter 5, we investigate the null controllability of a degenerate/singular wave equation with drift in non-divergence form. By considering control acting on a non-degenerate boundary point, we derive conditions for boundary controllability using energy methods and boundary observability. Chapter 6 explores a one-dimensional degenerate/singular wave equation with drift, where the leading operator is not in divergence form. The chapter imposes a homogeneous Dirichlet boundary condition at the degeneracy point and a boundary damping condition at the other endpoint. We establish conditions for the uniform exponential decay of solutions to the associated Cauchy problem, thus addressing the stabilization of this hyperbolic system. The results of this thesis provide some new insights into the controllability and stabilization of degenerate and singular partial differential equations, with a particular emphasis on hyperbolic equations for stabilization. The methods employed include the moment method, a pure spectral approach, used to prove the controllability results in the parabolic case, while the Hilbert Uniqueness method (HUM) is used to establish the results in the hyperbolic case.

Esta tesis investiga el control y la estabilización de ecuaciones hiperbólicas y el control de ecuaciones parabólicas, centrándose en las propiedades de controlabilidad y estabilización en los bordes de ecuaciones diferenciales parciales degeneradas y singulares. El trabajo está dividido en dos partes principales: el control de ecuaciones parabólicas y el control y la estabilización de ecuaciones hiperbólicas. Parte I: Control de Ecuaciones Parabólicas La primera parte de la tesis aborda la controlabilidad en los bordes de ecuaciones parabólicas degeneradas y singulares, examinando específicamente sistemas en los cuales el control se aplica solo a una de las ecuaciones acopladas. En el Capítulo 2, examinamos la controlabilidad puntual de una ecuación parabólica degenerada/singular unidimensional, probando las condiciones necesarias y suficientes para la controlabilidad aproximada y nula. Además, mostramos que existe un tiempo mínimo para la controlabilidad puntual nula, contribuyendo a la comprensión de los tiempos de control en tales sistemas. En el Capítulo 3, estudiamos la controlabilidad en los bordes de dos ecuaciones parabólicas degeneradas/singulares acopladas, considerando tanto la controlabilidad aproximada como la nula. Proporcionamos estimaciones para el costo de control nulo, basándonos en métodos espectrales, el método de momentos de Fattorini y Russell, y familias biortogonales. El Capítulo 4 amplía este análisis a un sistema no lineal, centrándose en la controlabilidad local en los bordes. Establecemos la controlabilidad nula en los bordes para el sistema lineal y proporcionamos una estimación para el costo de control nulo, lo que nos permite probar la controlabilidad exacta local en los bordes hacia cero para el sistema no lineal. Parte II: Control y Estabilización de Ecuaciones Hiperbólicas La segunda parte de la tesis se centra en el control y la estabilización de ecuaciones hiperbólicas. En el Capítulo 5, investigamos la controlabilidad nula de una ecuación de onda degenerada/singular con deriva en forma no divergente. Al considerar el control actuando sobre un punto de frontera no degenerado, derivamos condiciones para la controlabilidad en los bordes utilizando métodos de energía y observabilidad en los bordes. El Capítulo 6 explora una ecuación de onda degenerada/singular unidimensional con deriva, donde el operador principal no está en forma divergente. Este capítulo impone una condición de frontera de Dirichlet homogénea en el punto de degeneración y una condición de amortiguamiento en la frontera en el otro extremo. Establecemos condiciones para la descomposición exponencial uniforme de las soluciones al problema de Cauchy asociado, abordando así la estabilización de este sistema hiperbólico. Los resultados de esta tesis proporcionan valiosos conocimientos sobre la controlabilidad y estabilización de ecuaciones diferenciales parciales degeneradas y singulares, con un énfasis particular en las ecuaciones hiperbólicas para la estabilización. Los métodos empleados incluyen el método de momentos, un enfoque puramente espectral, utilizado para probar los resultados de controlabilidad en el caso parabólico, mientras que el método de multiplicadores se emplea para establecer los resultados en el caso hiperbólico.