Probabilidad - Leyes de los grandes números

Abstract

El documento aborda tres pilares fundamentales de la teoría de la probabilidad: la convergencia de variables aleatorias, las leyes de los grandes números y el teorema central del límite. Se explican distintos tipos de convergencia (puntual, uniforme, casi segura, en probabilidad y en distribución), junto con sus implicaciones teóricas. Las leyes de los grandes números se presentan en sus versiones débil y fuerte, incluyendo teoremas como los de Bernoulli, Khintchine, Kolmogorov y Borel, que establecen condiciones para la convergencia de medias de variables aleatorias independientes. Finalmente, se desarrolla el problema clásico del límite central, destacando los teoremas de De Moivre-Laplace y Lévy, que demuestran cómo la suma normalizada de variables aleatorias tiende a una distribución normal bajo ciertas condiciones. El documento incluye demostraciones matemáticas rigurosas y referencias bibliográficas clave para profundizar en el estudio.

The document explores three core topics in probability theory: convergence of random variables, laws of large numbers, and the central limit theorem. It explains various types of convergence (pointwise, uniform, almost sure, in probability, and in distribution), along with their theoretical implications. The laws of large numbers are presented in both weak and strong forms, including theorems by Bernoulli, Khintchine, Kolmogorov, and Borel, which establish conditions for the convergence of averages of independent random variables. Finally, it addresses the classical central limit problem, highlighting the De Moivre-Laplace and Lévy theorems, which show how normalized sums of random variables tend toward a normal distribution under certain conditions. The document includes rigorous mathematical proofs and key bibliographic references for further study.