Probabilidad - Esperanza condicionada

Abstract

El documento desarrolla el concepto de esperanza condicionada como extensión de la esperanza matemática. Se define para variables discretas y continuas, mostrando que representa el valor esperado de una variable dado el conocimiento de otra. Se presentan sus propiedades fundamentales, como la no negatividad, la linealidad, la conservación del orden, la compatibilidad con funciones medibles y el hecho de que, en caso de independencia, la esperanza condicionada coincide con la marginal.

Se introducen los momentos condicionados (no centrados y centrados), con especial énfasis en la varianza condicionada y la descomposición de la varianza total en dos componentes: la varianza de la esperanza condicionada y la esperanza de la varianza condicionada.

A continuación, se estudia la regresión de mínimos cuadrados, donde la mejor aproximación de una variable aleatoria mediante otra se obtiene con la esperanza condicionada. Esto da lugar a las curvas de regresión, que describen la relación entre variables en forma general. Se analiza su interpretación, propiedades y error cuadrático medio asociado.

El texto introduce también las razones de correlación, que miden la proporción de varianza explicada por la regresión. Finalmente, se desarrolla la regresión lineal de mínimos cuadrados, presentando las rectas de regresión, los coeficientes de regresión, el coeficiente de determinación y el coeficiente de correlación lineal, como medidas de la fuerza y dirección de la relación lineal entre variables.

The document addresses the concept of conditional expectation as a generalization of mathematical expectation. It is defined for both discrete and continuous random variables, representing the expected value of one variable given knowledge of another. Its key properties are presented, including non-negativity, linearity, order preservation, compatibility with measurable functions, and the result that under independence, the conditional expectation coincides with the marginal expectation.

The text then introduces conditional moments (both raw and central), with particular focus on conditional variance and the variance decomposition formula: the total variance equals the variance of the conditional expectation plus the expected conditional variance.

The next section covers the least squares regression, showing that the optimal approximation of one variable by another is the conditional expectation. This leads to regression curves, which describe the dependence structure between variables. Their interpretation, properties, and associated mean squared error are discussed.

The document also introduces correlation ratios, which quantify the proportion of variance explained by regression. Finally, it develops linear least squares regression, presenting the regression lines, regression coefficients, the coefficient of determination, and the linear correlation coefficient, which measure the strength and direction of linear dependence between variables and assess the goodness of linear fit.