Probabilidad - Independencia de variables aleatorias

Abstract

El documento desarrolla el concepto de independencia de variables aleatorias, fundamental en la probabilidad y la estadística. En primer lugar, se presenta la definición y caracterización de independencia, tanto para variables discretas como continuas, mostrando que la independencia implica la factorización de la distribución conjunta en el producto de las distribuciones marginales. Se incluyen formulaciones equivalentes a partir de probabilidades, densidades y funciones generatrices de momentos.

En la segunda parte se estudian las propiedades de la independencia, destacando que variables degeneradas son independientes de cualquier otra, que la independencia se preserva en subconjuntos, y que las distribuciones condicionadas coinciden con las marginales. Además, se introduce el teorema de la multiplicación de esperanzas, según el cual la esperanza de un producto de variables independientes es el producto de sus esperanzas, y se muestra su relación con la covarianza y la varianza de combinaciones lineales.

La tercera sección trata la reproductividad de distribuciones, una propiedad clave por la cual sumas de variables independientes de ciertas distribuciones pertenecen a la misma familia. Se ilustran los casos de las distribuciones Binomial, Poisson, Binomial Negativa, Geométrica, Normal, Gamma y Exponencial.

Finalmente, se amplía el concepto a la independencia de vectores aleatorios, generalizando los resultados previos y mostrando condiciones equivalentes en términos de funciones de distribución, densidad y generatrices de momentos.

The document explores the concept of independence of random variables, a cornerstone of probability and statistics. First, it introduces the definition and characterization of independence for both discrete and continuous random variables, emphasizing that independence requires the joint distribution to factorize into the product of marginal distributions. Equivalent formulations are given in terms of probabilities, densities, and moment generating functions.

The second section analyzes the properties of independence, noting that degenerate variables are independent of any other, independence is preserved within subsets, and conditional distributions coincide with the corresponding marginals. The expectation multiplication theorem is introduced: the expectation of the product of independent variables equals the product of their expectations. Related implications for covariance (zero under independence) and variance of linear combinations are also presented.

The third part focuses on the reproducibility of distributions, meaning that sums of independent variables from certain distributions belong to the same family. Classical cases include the Binomial, Poisson, Negative Binomial, Geometric, Normal, Gamma, and Exponential distributions, each demonstrated through moment generating functions.

Finally, the text extends the framework to independence of random vectors, generalizing the univariate results. Equivalent conditions are provided using joint and marginal probability functions, densities, and moment generating functions, along with properties preserved under measurable transformations.