Analysis of Partial Differential Equations Arising from Mechanical and Biochemical Interactions in Cell Dynamics and Stochastic Particle Systems

Abstract

Esta tesis se centra en el estudio de ecuaciones en derivadas parciales (EDPs), originadas en biología celular, desde dos perspectivas distintas. La primera explora varios modelos que describen interacciones entre poblaciones celulares, con especial atención a la formación de patrones. Examinaremos cómo la presión influye en la dinámica de estas poblaciones interactivas, analizando modelos donde dos poblaciones celulares interactúan y evolucionan a lo largo del tiempo. Un aspecto clave de esta investigación es la existencia de ondas viajeras monótonas, que describen la propagación de estas interacciones. Además, extenderemos este análisis a modelos de interacción bioquímica, como el modelo de Keller-Segel con flujo saturado, con el objetivo de establecer la existencia de soluciones tipo pulso viajero o solitón. La segunda perspectiva implica derivar EDPs aplicables a problemas biológicos a partir de sistemas de partículas interactivas, cuya dinámica está gobernada por ecuaciones estocásticas, con interacciones definidas a través de grafos. En este marco, buscamos estudiar el límite de campo medio de estas partículas para obtener una ecuación de Vlasov-Fokker-Planck. Este enfoque une la dinámica microscópica de partículas y el comportamiento macroscópico de las EDPs, proporcionando información sobre los fenómenos emergentes en sistemas biológicos. La tesis está organizada de la siguiente manera: • Capítulo 1: Este capítulo introduce los temas tratados en la tesis, estableciendo el marco teórico y la literatura relacionada. La introducción se divide en tres partes. Primero, presentaremos el modelo biológico caracterizado por interacciones mecánicas y mostraremos varios resultados obtenidos, así como la forma en que otros investigadores han abordado este problema desde distintas perspectivas. La segunda parte presentará los modelos de Keller-Segel, introduciendo los modelos de flujo saturado de Keller-Segel, discutiendo la importancia de este modelo y motivando el estudio y análisis de patrones tipo solitón. Por último, introduciremos los sistemas de partículas interactivas, detallando cómo se han abordado los límites de campo medio para partículas estocásticas interactivas, haciendo hincapié en el uso de medidas de diagrama. • Capítulo 2: Este capítulo corresponde al artículo . Nos centramos en probar la existencia de soluciones de ondas viajeras en un modelo propuesto por Joanny et al., que examina la dinámica de interfaces entre dos poblaciones celulares durante el crecimiento tumoral. El modelo incluye términos de advección no locales y fuertemente no lineales que representan interacciones biomecánicas. Establecemos límites superiores e inferiores para la velocidad de propagación de la onda a través de diferentes parámetros biológicos empleando diversas técnicas de sistemas dinámicos, teoría de perturbaciones singulares geométricas y teoría de grado. • Capítulo 3: Este capítulo corresponde a una colaboración en curso con R. Granero. Analizamos la existencia de soluciones para el modelo de Joanny et al., donde el laplaciano es reemplazado por un laplaciano fraccionario. La existencia de soluciones se deriva mediante una combinación de métodos de energía y métodos puntuales. • Capítulo 4: Este capítulo corresponde al artículo [41], que se publica en Mathematical Models and Methods in Applied Sciences y es una colaboración con M. Veruete. El objetivo de este estudio es aclarar la existencia de patrones en modelos de tipo Keller-Segel que se manifiestan como soluciones tipo pulso viajero. La investigación explora los mecanismos de transporte que describen estas ondas de soporte compacto, centrándose en la difusión no lineal a través de mecanismos de flujo saturado para el movimiento celular. Además, se analizan varios operadores de transporte para el chemoatrayente. Las metodologías empleadas integran el análisis del diagrama de fases en sistemas dinámicos con ecuaciones en derivadas parciales, utilizando el concepto de soluciones entrópicas y condiciones de salto admisibles del tipo Rankine-Hugoniot. El estudio identifica dos tipos de ondas de pulso viajero que se alinean con las observaciones experimentales. • Capítulo 5: Este capítulo corresponde al artículo [94], una colaboración con C. Kuehn. Este artículo se centra en sistemas de partículas modelados por ecuaciones diferenciales estocásticas (EDEs), donde el límite de campo medio converge a una ecuación del tipo Vlasov-Fokker-Planck. Se aparta del análisis estocástico tradicional al examinar la conectividad de la red de partículas a través de medidas de diagrama (DGMs), que capturan diversas interacciones de red más allá de enfoques clásicos como los graphons. El objetivo es abarcar una amplia gama de límites de campo medio, empleando argumentos teóricos de medida combinados con estimaciones de momento para asegurar resultados de aproximación para el campo medio. • Capítulo 6: Este capítulo está dedicado a presentar varios proyectos de investigación en curso relacionados con esta tesis. Resumiremos algunas conclusiones de estudios previos y discutiremos direcciones de investigación futuras que permanecen abiertas como resultado de este trabajo.

This thesis focuses on the study of partial differential equations (PDEs) arising in biological frameworks, from two distinct perspectives. The first explores various models that describe interactions between cell populations, with particular attention to pattern formation. We will examine how pressure influences the dynamics of these interacting populations, analyzing models where two cell populations interact and evolve over time. A key aspect of this investigation is the existence of monotonic traveling waves, which describe the propagation of these interactions. Additionally, we will extend this analysis to biochemical interaction models, such as the flux-saturated Keller-Segel model, aiming to establish the existence of traveling pulse or soliton-type solutions. The second perspective involves deriving PDEs applicable to biological problems from systems of interacting particles, whose dynamics are governed by stochastic equations, with interactions defined through graphs. In this framework, we aim to study the mean-field limit of these particles to obtain a Vlasov- Fokker-Planck equation. This approach bridges microscopic particle dynamics and macroscopic PDE behavior, providing insight into the emergent phenomena in biological systems. The thesis is organized as follows: • Chapter 1: This chapter introduces the topics covered in the thesis, establishing the theoretical framework and related literature. The introduction is divided into three parts. First, we will introduce the biological model characterized by mechanical interactions and present various results obtained, as well as how other researchers have approached this problem from different perspectives. The second part will present the Keller-Segel models, introducing the saturated flux Keller-Segel models, discussing the significance of this model, and motivating the study and analysis of soliton-type patterns. Finally, we will introduce the systems of interacting particles, detailing how the mean-field limits for stochastic interacting particles have been addressed, emphasizing the use of diagraph measures. • Chapter 2: This chapter corresponds to the paper . We focused on proving the existence of traveling wave solutions in a model proposed by Joanny et al., which examines the dynamics of interfaces between two cell populations during tumor growth. The model includes non-local and strongly nonlinear advection terms representing biomechanical interactions. We establish upper and lower bounds for the wave propagation speed across different biological parameters by employing various techniques from dynamical systems, geometric singular perturbation theory, and degree theory. • Chapter 3: This chapter corresponds to an ongoing collaboration with R. Granero. We analyze the existence of solutions for the model by Joanny et al., where the Laplacian is replaced by a fractional Laplacian. The existence of solutions is derived using a combination of energy and pointwise methods. • Chapter 4: This chapter corresponds to the paper [41], which is published in Mathematical Models and Methods in Applied Sciences and is a collaboration with M. Veruete. The objective of this study is to clarify the existence of patterns in Keller-Segel type models that manifest as traveling pulse solutions. The research explores transport mechanisms that describe these compact support waves, focusing on nonlinear diffusion via saturated flux mechanisms for cell movement. Additionally, various transport operators for the chemoattractant are analyzed. The methodologies employed integrate phase diagram analysis in dynamical systems with partial differential equations, utilizing the concept of entropic solutions and admissible jump conditions of the Rankine-Hugoniot type. The study identifies two types of traveling pulse waves that align with experimental observations. • Chapter 5: This chapter corresponds to the paper [94], a collaboration with C. Kuehn. This paper focuses on particle systems modeled by stochastic differential equations (SDEs), where the mean field limit converges to a Vlasov-Fokker-Planck-type equation. It departs from traditional stochastic analysis by examining particle network connectivity through diagraph measures (DGMs), which capture various network interactions beyond classical approaches like graphons. The aim is to encompass a broad range of mean-field limits, employing measure-theoretic arguments combined with moment estimates to ensure approximation results for the mean field. • Chapter 6: This chapter is dedicated to presenting various ongoing research projects related to this thesis. We will outline some conclusions from previous studies and discuss future research directions that remain open as a result of this work.