La invención de problemas como medio para desarrollar el razonamiento proporcional y algebraico. Implicaciones en la formación de profesores

Abstract

Esta memoria de tesis doctoral articula cuatro aspectos de sumo interés en la Educación Matemática: la formación de profesores, la creación de problemas, el razonamiento proporcional y el algebraico. La creación de problemas es objetivo, pero también medio para evaluar y desarrollar conocimientos y competencias didácticomatemáticas de futuros profesores con relación al razonamiento proporcional y su conexión con el algebraico. El Capítulo 1 muestra, mediante una revisión de la literatura, la necesidad y beneficios de la creación de problemas tanto para la enseñanza y aprendizaje de las matemáticas escolares como en la propia formación de los docentes. A continuación, centra la atención en el razonamiento proporcional y su conexión con el algebraico, con la intención de identificar qué carencias encuentran los docentes en formación y de qué forma es posible contribuir a su mejora a través la creación de problemas. Los antecedentes recogen también diferentes propuestas de tareas de creación de problemas y muestran la necesidad de diseñar e implementar acciones formativas que orienten la adquisición adecuada de esta competencia matemática sobre contenidos matemáticos específicos. El capítulo concluye con las hipótesis y los objetivos de investigación propuestos en esta memoria. El Capítulo 2 recoge la fundamentación teórica y metodológica de la investigación. Se resumen los componentes esenciales para esta tesis del Enfoque Ontosemiótico del conocimiento y la instrucción matemáticos, en particular, las nociones de significado pragmático y configuración ontosemiótica de prácticas, objetos y procesos, así como el modelo de conocimiento y competencias didáctico-matemáticas del profesor de matemáticas. Además, se introducen las posturas asumidas sobre la creación de problemas, el razonamiento proporcional y el algebraico, describiendo el modelo de los niveles de algebrización propuesto desde el Enfoque ontosemiótico. Finalmente se detalla la ingeniería didáctica en el sentido generalizado como el enfoque metodológico seguido para atender a los objetivos establecidos. De acuerdo con el análisis realizado sobre estudios previos y la reflexión en torno al diseño de experiencias formativas con motivo de esta tesis, en el Capítulo 3 presentamos un nuevo modelo para la creación de problemas. El modelo considera esta práctica como un mega-proceso y articula las formas de crear un problema matemático, sus elementos, los procesos implicados y los tipos de conocimientos didáctico-matemáticos que involucran. En los siguientes capítulos se presenta el diseño, la implementación y la evaluación de las intervenciones formativas realizadas con docentes de primaria y secundaria en formación, centradas en la creación de problemas con una finalidad didáctico-matemática específica con relación a los razonamientos proporcional y algebraico. De manera específica, los Capítulos 4 y 5 describen los resultados de las acciones desarrolladas con maestros en formación (estudiantes del grado de Educación Primaria) españoles, destinadas a crear por variación problemas con finalidad didáctico-matemática epistémica (involucrar rasgos esenciales del razonamiento proporcional, por ejemplo, distinguir situaciones proporcionales de situaciones aditivas) y cognitiva (crear problemas con diferentes grados de complejidad, variar un problema de proporcionalidad para contribuir a facilitar la comprensión y la solución de dificultades encontradas con la solución del problema base). Los Capítulos 6 y 7 se dedican a las acciones formativas llevadas a cabo con futuros profesores de secundaria españoles y costarricenses, respectivamente. En el diseño de estas experiencias, se amplía el contexto de creación de problemas de proporcionalidad (aritmético, funcional, geométrico o probabilístico) y se contempla tanto la creación de forma libre o a partir de una situación dada. Finalmente, en el Capítulo 8 se describen los resultados de una intervención formativa con maestros en formación (también estudiantes del grado de Educación Primaria) españoles, centrada en la creación de problemas por variación o a partir de una situación de proporcionalidad (en contexto aritmético o probabilístico) para fomentar el razonamiento algebraico o motivar cambios en el nivel de algebrización. En el Capítulo 9 que cierra esta tesis, se encuentran las conclusiones generales derivadas de los resultados obtenidos en las intervenciones descritas en los capítulos anteriores, dando respuesta a las hipótesis y objetivos planteados. Estos muestran, de manera general, las dificultades de los futuros docentes para crear problemas que respondan a la finalidad didáctica requerida, motivadas en parte por un conocimiento didáctico-matemático insuficiente en las distintas facetas (epistémica, cognitiva, interaccional), y en particular por un conocimiento sesgado del razonamiento proporcional y algebraico. Finalmente, se establecen líneas futuras de investigación a partir del análisis de los logros y limitaciones observadas, sugiriendo posibles mejoras y ampliaciones de los instrumentos utilizados. Se espera así contribuir al diseño de nuevas acciones sobre creación de problemas en los programas de formación de profesores, que superen las carencias observadas.

This doctoral thesis articulates four key aspects of great interest in Mathematics Education: teacher training, problem creation, proportional reasoning, and algebraic reasoning. Problem creation is both an objective and a means to evaluate and develop the didactic-mathematical knowledge and competencies of future teachers concerning proportional reasoning and its connection with algebraic reasoning. Chapter 1 shows, through a literature review, the necessity and benefits of problem creation for both the teaching and learning of school mathematics and for teacher training. It then focuses on proportional reasoning and its connection to algebraic reasoning, aiming to identify the deficiencies that trainee teachers encounter and how it is possible to contribute to their improvement through problem creation. The background also includes various proposals for problem-creating tasks and demonstrates the need to design and implement training actions that guide the adequate acquisition of this mathematical competence on specific mathematical content. The chapter concludes with the hypotheses and research objectives proposed in this thesis. Chapter 2 covers the theoretical and methodological foundation of the research. It summarizes the essential components of this thesis from the Onto-Semiotic Approach to mathematical knowledge and instruction, particularly the notions of pragmatic meaning and the ontosemiotic configuration of practices, objects, and processes, as well as the model of didactic-mathematical knowledge and competencies of the mathematics teacher. Additionally, it introduces the assumed positions on problem creation, proportional reasoning, and algebraic reasoning, describing the model of algebraization levels proposed by the Onto-Semiotic Approach. Finally, it details the didactic engineering in the generalized sense as the methodological approach followed to meet the established objectives. Based on the analysis of previous studies and reflections on the design of formative experiences conducted for this thesis, Chapter 3 presents a new model for problem creation. The model considers this practice as a mega-process and articulates the ways to create a mathematical problem, its elements, the processes involved, and the types of didacticmathematical knowledge they involve. The following chapters present the design, implementation, and evaluation of the training interventions carried out with primary and secondary trainee teachers, focusing on problem creation with a specific didacticmathematical purpose related to proportional and algebraic reasoning. Specifically, Chapters 4 and 5 describe the results of the actions developed with trainee primary education teachers in Spain, aimed at creating problems with didactic-mathematical epistemic purposes (involving essential features of proportional reasoning, such as distinguishing proportional from additive situations) and cognitive purposes (creating problems with varying degrees of complexity, modifying a proportionality problem to facilitate understanding and addressing difficulties encountered in solving the base problem). Chapters 6 and 7 are dedicated to the training actions carried out with future secondary school teachers in Spain and Costa Rica, respectively. In designing these experiences, the context of proportionality problem creation (arithmetic, functional, geometric, or probabilistic) is expanded, and both free creation and creation from a given situation are considered. Finally, Chapter 8 describes the results of a training intervention with trainee primary education teachers in Spain, focused on problem creation through variation or from a proportional situation (in arithmetic or probabilistic contexts) to promote algebraic reasoning or motivate changes in the level of algebraization. In Chapter 9, which concludes this thesis, the general conclusions derived from the results obtained in the interventions described in the previous chapters are presented, addressing the hypotheses and objectives set forth. These findings generally reveal the difficulties future teachers face in creating problems that meet the required didactic purpose. These challenges are partly due to insufficient didactic-mathematical knowledge in its various facets (epistemic, cognitive, interactional), and particularly due to a biased understanding of proportional and algebraic reasoning. Finally, future lines of research are established based on the analysis of the achievements and limitations observed, suggesting possible improvements and extensions of the instruments used. It is hoped that this will contribute to the design of new strategies for problem creation in teacher training programs, thereby addressing the identified deficiencies.