https://hdl.handle.net/10481/69595 2026-04-25T02:16:24Z https://hdl.handle.net/10481/112931 Estudio de la estructura arbórea de los semigrupos numéricos Casas Pérez, Mario La motivación de la realización de este trabajo de fin de grado es obtener una comprensión detallada sobre los semigrupos numéricos y su estudio en el ámbito de la informática y de las matemáticas. Un semigrupo numérico es un subconjunto de los números naturales N que contiene el cero, es cerrado bajo la suma y tiene un complemento finito en N. Estos semigrupos pueden describirse mediante generadores finitos y poseen propiedades clave como el número de Frobenius, el elemento conductor y la cantidad de huecos. Los semigrupos numéricos desempeñan un papel fundamental en matemáticas, especialmente en álgebra conmutativa, teoría de números y geometría algebraica. Son esenciales en el estudio de los dominios de valoración y en la clasificación de singularidades en curvas algebraicas. Además, encuentran aplicaciones en informática, como en la optimización discreta, la teoría de autómatas, la criptografía y la teoría de la información. Un ejemplo clásico es el problema de la moneda, que consiste en determinar el mayor valor que no se puede representar con un conjunto dado de denominaciones monetarias. Se ha realizado adicionalmente una página web en donde aquellos usuarios interesados en el estudio y análisis de los semigrupos numéricos puedan aprender y estudiar de forma dinámica todas sus propiedades matemáticas así como su inclusión en el área de la informática. Esta página facilitará el conocimiento mediante ejemplos prácticos donde el usuario podrá interactuar a través de diversos programas para ver el comportamiento de estos. Este trabajo aborda un análisis teórico y práctico de los semigrupos numéricos, destacando su importancia en problemas combinatorios y en el diseño de algoritmos eficientes para la resolución de problemas en ciencias de la computación.; The motivation for conducting this final project is to gain a detailed understanding of numerical semigroups and their study in the context of computer science and mathematics. A numerical semigroup is a subset of the natural numbers N that includes zero, is closed under addition, and has a finite complement in N. These semigroups can be described using finite generators and possess key properties such as the Frobenius number, the conductor element, and the number of gaps. Numerical semigroups play a fundamental role in mathematics, especially in commutative algebra, number theory, and algebraic geometry. They are essential in the study of valuation domains and the classification of singularities in algebraic curves. Furthermore, they find applications in computer science, such as in discrete optimization, automata theory, cryptography, and information theory. A classic example is the coin problem, which involves determining the largest value that cannot be represented with a given set of coin denominations. In addition, a website has been developed where users interested in the study and analysis of numerical semigroups can learn and explore their mathematical properties dynamically, as well as their application in the field of computer science. This platform will enhance understanding through practical examples, allowing users to interact with various programs to observe their behavior. This work presents a theoretical and practical analysis of numerical semigroups, highlighting their importance in combinatorial problems and the design of efficient algorithms for solving problems in computer science. https://hdl.handle.net/10481/109421 Distribuciones y Ecuaciones en Derivadas Parciales García Zamora, Diego https://hdl.handle.net/10481/108049 Una estructura de retículo para hesitant fuzzy sets Maciá Román, Pedro La intención de este Trabajo de Fin de Grado es principalmente didáctica. El objetivo principal es desarrollar el artículo A lattice structure on hesitant fuzzy sets, aportando ejemplos y gráficos e incluyendo los requisitos previos para facilitar su comprensión y estudio. Los principales objetivos de este trabajo son los siguientes: - Obtener los conocimientos básicos sobre teoría de conjuntos difusos y retículos. - Conocer algunas de las distintas extensiones difusas. - Comprender el orden simétrico sobre el conjunto de las partes no vacías de [0, 1] y la estructura de retículo que aporta a dicho conjunto. La estructura de este trabajo es como sigue. En la primera parte de este TFG se desarrollan los conocimientos previos necesarios para este trabajo. El Capítulo 1 introduce algunos conceptos sobre órdenes y retículos, así como el concepto de conjunto difuso, y extiende algunos conceptos de la teoría clásica de conjuntos a estos conjuntos difusos. Por último, recorre brevemente algunas de las extensiones difusas más relevantes para este Trabajo de Fin de Grado, como son las extensiones L-difusas, T2FS o IVFS. El Capítulo 2 presenta los SVFS (Set Valued Fuzzy Sets) y las operaciones propuestas para esta extensión. Posteriormente se define el concepto de HFS (Hesitant Fuzzy Set) así como las operaciones propuestas por Torra, demostrando que no cumplen las condiciones necesarias para dar estructura de retículo. Se presenta así el problema al que se da solución en el artículo A lattice structure on Hesitant Fuzzy Sets. En la segunda parte se desarrolla en profundidad el artículo citado, teniendo como objetivo no solo la corrección matemática y el desarrollo del orden simétrico, sino la claridad en las explicaciones y la ejemplificación. El Capítulo 3 desarrolla los órdenes a derecha y a izquierda, definidos en las partes no vacías y cerradas por la derecha y por la izquierda respectivamente. Estos órdenes precederán al orden simétrico, que se desarrolla en el Capítulo 4, en el cual se estudian en primer lugar algunas propiedades del orden simétrico, y a continuación se obtienen las operaciones ínfimo y supremo para dicho orden, obteniendo así la estructura de retículo deseada. El capítulo concluye demostrando que el orden simétrico es compatible con las operaciones de Zadeh para FS y HFS, probando así que el orden simétrico es la solución del reto propuesto por Bustince y otros: “Un problema abierto interesante es dotar a SVFS de una estructura de retículo de forma que la unión y la intersección de Zadeh se preserven al restringirse a FSs.”. https://hdl.handle.net/10481/105609 The Spin group and its applications Oliver Huete, Alejandro Este trabajo se centra en las propiedades y aplicaciones del álgebra de Clifford Gₚ,ₘ, asociada al espacio cuadrático no degenerado ℝₚ,ₘ, y de su subgrupo más importante, el grupo espín (ortócrono) Spin⁺ₚ,ₘ. En particular, demostramos que este grupo es el recubridor doble del grupo de rotaciones (generalizado), SO⁺ₚ,ₘ. De hecho, en los casos euclídeo y lorentziano, los grupos Spin(n) y Spin⁺(1, n) son simplemente conexos, es decir, son los recubridores universales del grupo de rotaciones SO(n) y del grupo de Lorentz (restringido) SO⁺(1, n). Particularizando al caso n = 3, discutimos algunas aplicaciones del álgebra de Clifford G₃ y de sus subgrupos Spin(3) y $pin⁺(1, 3) ∼= Spin⁺(1, 3) a la relatividad especial, el electromagnetismo y la mecánica cuántica. El trabajo está estructurado en tres capítulos. En el capítulo 1, partiendo de la identidad v² = vv = q(v) para todo v ∈ ℝₚ,ₘ,Z (donde q es una forma cuadrática de signatura arbitraria (p, m, z)), se construye el álgebra Gₚ,ₘ,Z y su producto fundamental, el producto geométrico. Este álgebra no solo contiene una copia de los números reales y del espacio vectorial ℝⁿ, sino que también posee una estructura graduada que permite representar los diferentes subespacios lineales de ℝⁿ. A partir del producto geométrico se definen dos nuevos productos: el producto exterior, que se usa para construir áreas, volúmenes e hipervolúmenes orientados; y el producto escalar, que permite, en el caso no degenerado, medir el tamaño de estos hipervolúmenes. Además, las involuciones del álgebra (análogas a la conjugación de números complejos) permiten escribir expresiones algebraicas de forma sencilla y compacta. En el capítulo 2, se definen, dentro del álgebra de Clifford no degenerada Gₚ,ₘ, los grupos Pinₚ,ₘ, Spinₚ,ₘ y Spin⁺ₚ,ₘ, que permiten realizar transformaciones ortogonales de vectores en el espacio cuadrático ℝₚ,ₘ mediante un homomorfismo de grupos sobreyectivo ρ : (S)Pin⁺ₚ,ₘ → (S)O⁺ₚ,ₘ. La sobreyectividad de esta aplicación se deduce del teorema de Cartan-Dieudonné, que conseguimos demostrar de forma sencilla gracias a las operaciones y propiedades de las álgebras de Clifford. Por otro lado, dotando a Gₚ,ₘ de una topología natural, esta álgebra adquiere, además, una estructura de variedad real analítica, y se observa que los grupos Pinₚ,ₘ, Spinₚ,ₘ y Spin⁺ₚ,ₘ están contenidos en el grupo G×ₚ,ₘ de elementos invertibles del álgebra, que resulta ser un grupo de Lie. Esta estructura de grupo de Lie nos permite demostrar que Spin⁺ₚ,ₘ es arcoconexo y que el homomorfismo ρ es también un recubridor doble. Como consecuencia, obtenemos que el grupo de rotaciones (generalizado) SO⁺ₚ,ₘ es conexo. Como mencionábamos arriba, en los casos euclídeo y lorentziano, este recubridor doble resulta ser también un recubridor universal. La demostración de este resultado no se completa hasta el capítulo 3, donde probamos que el grupo fundamental de SO(3) es ℤ₂. Para cerrar el capítulo, se muestra que el álgebra Gₚ,ₘ contiene una copia isométrica de ℝₘ₊₁,ₚ y otra isomorfa de Spin⁺ₘ₊₁,ₚ (que denotaremos por $pin⁺ₘ₊₁,ₚ), lo que nos permite usar el álgebra de Clifford euclídea, Gₙ, para modelar también el espacio lorentziano ℝ₁,ₙ y sus transformaciones de Lorentz. Finalmente, en el capítulo 3 se estudia la estructura y aplicaciones del álgebra de Clifford G₃ asociada al espacio euclídeo ℝ³. La forma particularmente simple que toma el grupo espín en dimensiones bajas (n ≤ 4) nos permite demostrar que Spin(3) es simplemente conexo, lo cual implica, por ser ρ : Spin(3) → SO(3) un recubridor doble, que el grupo fundamental de SO(3) es ℤ₂, como anticipábamos arriba. Este resultado topológico-algebraico se ilustra físicamente mediante el truco del cinturón de Dirac. Para ello, seguimos la explicación dada en [22]. Además, se establece un isomorfismo entre Spin(3) y los cuaterniones unitarios, deduciéndose la fórmula de representación de rotaciones usando cuaterniones. En cuanto a las aplicaciones en física, utilizamos el espacio de paravectores P₁,₃ = G₀³ ⊕ G₁³ y el grupo $pin⁺(1, 3) ⊆ G×₃ para modelar el espacio-tiempo de Minkowski y las transformaciones de Lorentz, respectivamente. Además, el elemento e₁e₂e₃, también llamado el pseudoescalar, dota al álgebra G₃ de una estructura compleja natural, que es utilizada para definir la dualidad de Hodge. Usando esta operación, recuperamos el producto vectorial usual de ℝ³ como el dual del producto exterior, lo que nos permite reescribir de forma compacta las cuatro ecuaciones de Maxwell como una sola ecuación en G₃. Para terminar el capítulo, nos centramos en las aplicaciones en mecánica cuántica. En primer lugar, se muestra que las matrices de Pauli inducen un isomorfismo entre G₃ y ℂ²×², que restringido a los grupos Spin(3) y $pin⁺(1, 3) da lugar a los isomorfismos Spin(3) ∼= SU(2), $pin⁺(1, 3) ∼= SL(2, ℂ). El isomorfismo dado por las matrices de Pauli también nos permite modelar los espinores (de Pauli y de Weyl) como elementos del ideal mínimo por la izquierda G₃P₃, donde P₃ = ½(1 − e₃) es un idempotente primitivo. Por último, partiendo de la representación de las transformaciones de Lorentz usando el grupo $pin⁺(1, 3), deducimos la ecuación de Dirac, revelando una estrecha conexión entre los espinores de Dirac (y de Weyl) y ciertos elementos de dicho grupo espín. https://hdl.handle.net/10481/103868 Entrenamiento de Redes Convolucionales mediante la Transformada de Fourier Moreno Cuadrado, Isabel María En este TFG, estructurado en dos partes distintas, una de índole matemática y otra de naturaleza informática, se exploran cuestiones vinculadas al campo del DL, concretamente de las CNN, estableciendo una interconexión entre ambas áreas. En la parte matemática de este TFG, correspondiente a la primera sección del mismo, se estudia en profundidad el análisis de Fourier en L1(Rn). El análisis de la Transformada de Fourier en este espacio, motivará posteriormente la definición de su versión en el marco discreto, la DFT, cuyas propiedades y características más importantes emergerán de manera natural y estarán inspiradas por su similitud con las propiedades descritas en el ámbito continuo. Adicionalmente, se presentará en esta primera parte, la operación de convolución, que junto con el Teorema de Convolución consolidarán la base teórica para el desarrollo de la segunda parte de esta memoria. En la parte informática de este TFG, correspondiente a la segunda sección del mismo, se estudia un método alternativo para realizar la operación de convolución entre un núcleo y una imagen, usando el Teorema de Convolución y las propiedades de la DFT. Este método utiliza la FFT para convertir los productos matriciales entre ambos operandos en productos puntuales. En esta parte, se realizan, por tanto, una serie de experimentos con objeto de evaluar la viabilidad del nuevo método de convolución propuesto, en problemas de VC. Posteriormente, se analiza la eficiencia de este algoritmo, lo cual requiere un estudio detallado de la eficiencia del algoritmo de la FFT. Finalmente, este algoritmo se termina incorporando en la arquitectura de una CNN, estudiando una nueva metodología propuesta en los trabajos futuros de [10] para entrenar esta red íntegramente en el dominio de la frecuencia, y realizando posteriormente una comparativa de su rendimiento con el entrenamiento en una arquitectura clásica. Esta aproximación permite entrenar una CNN usando menos operaciones y, por lo tanto, representa un avance prometedor en la línea de investigación; aceleración del entrenamiento de una CNN. Este avance es especialmente relevante dado el aumento en el número de mapas de características en las CNN modernas, que además suelen trabajar con datos de grandes dimensiones. Esta metodología se alinea con la creciente concienciación sobre la “Green AI”, que busca desarrollar tecnologías y técnicas de IA sostenibles, promoviendo un enfoque más eficiente y responsable. Se muestra, por tanto, en el presente documento, cómo la parte matemática sustenta y motiva nuevos avances en una línea de investigación dentro del DL, conectando de esta manera ambas disciplinas y mostrando cuán fructíferos pueden ser los resultados cuando se combinan ambas. vi; In this undergraduate thesis, structured in two distinct parts, one of mathematical nature and the other one of computational nature, some issues related to the field of DL, specifically CNN, are explored, establishing an interconnection between both areas. In the mathematical part of this mark, corresponding to the first section, the Fourier analysis in L1(Rn) is studied in depth. The analysis of the Fourier Transform in this space will subsequently motivate the definition of its version in the discrete framework, the DFT (Discrete Fourier Transform), whose most important properties and characteristics will emerge naturally and will be inspired by their similarity with the properties described in the continuous domain. Additionally, in this first part, the convolution operation will be presented, which, along with the Convolution Theorem, will consolidate the theoretical basis for the development of the second part of this document. In the computational part of this thesis, corresponding to the second section, an alternative method for performing the convolution operation between a kernel and an image using the Convolution Theorem and the properties of the DFT is studied. This method uses the FFT to convert the matrix products between both operands into pointwise products. Therefore, in this part, a series of experiments are conducted to evaluate the feasibility of the proposed new convolution method in VC problems. Subsequently, the efficiency of this algorithm is analyzed, which requires a detailed study of the efficiency of the FFT algorithm. Finally, this algorithm is incorporated into the architecture of a CNN, studying a new methodology proposed in the future works of [10] to train this network entirely in the frequency domain and subsequently comparing its performance with training in a classical architecture. This approach allows training a CNN using fewer operations and, therefore, represents a promising advancement in the line of research aimed at accelerating CNN training. This advancement is especially relevant given the increase in the number of feature maps in modern CNN, which also tend to work with large-scale data. This methodology aligns with the growing awareness of "Green AI," which seeks to develop sustainable AI technologies and techniques, promoting a more efficient and responsible approach. Therefore, this document shows how the mathematical part supports and motivates new advances in a line of research within DL, thus connecting both disciplines and demonstrating how fruitful the results can be when both are combined.