@misc{10481/105609,
year = {2025},
url = {https://hdl.handle.net/10481/105609},
abstract = {Este trabajo se centra en las propiedades y aplicaciones del álgebra de Clifford Gₚ,ₘ, asociada al espacio cuadrático no degenerado ℝₚ,ₘ, y de su subgrupo más importante, el grupo espín (ortócrono) Spin⁺ₚ,ₘ. En particular, demostramos que este grupo es el recubridor doble del grupo de rotaciones (generalizado), SO⁺ₚ,ₘ. De hecho, en los casos euclídeo y lorentziano, los grupos Spin(n) y Spin⁺(1, n) son simplemente conexos, es decir, son los recubridores universales del grupo de rotaciones SO(n) y del grupo de Lorentz (restringido) SO⁺(1, n). Particularizando al caso n = 3, discutimos algunas aplicaciones del álgebra de Clifford G₃ y de sus subgrupos Spin(3) y $pin⁺(1, 3) ∼= Spin⁺(1, 3) a la relatividad especial, el electromagnetismo y la mecánica cuántica. El trabajo está estructurado en tres capítulos. En el capítulo 1, partiendo de la identidad v² = vv = q(v) para todo v ∈ ℝₚ,ₘ,Z (donde q es una forma cuadrática de signatura arbitraria (p, m, z)), se construye el álgebra Gₚ,ₘ,Z y su producto fundamental, el producto geométrico. Este álgebra no solo contiene una copia de los números reales y del espacio vectorial ℝⁿ, sino que también posee una estructura graduada que permite representar los diferentes subespacios lineales de ℝⁿ. A partir del producto geométrico se definen dos nuevos productos: el producto exterior, que se usa para construir áreas, volúmenes e hipervolúmenes orientados; y el producto escalar, que permite, en el caso no degenerado, medir el tamaño de estos hipervolúmenes. Además, las involuciones del álgebra (análogas a la conjugación de números complejos) permiten escribir expresiones algebraicas de forma sencilla y compacta. En el capítulo 2, se definen, dentro del álgebra de Clifford no degenerada Gₚ,ₘ, los grupos Pinₚ,ₘ, Spinₚ,ₘ y Spin⁺ₚ,ₘ, que permiten realizar transformaciones ortogonales de vectores en el espacio cuadrático ℝₚ,ₘ mediante un homomorfismo de grupos sobreyectivo ρ : (S)Pin⁺ₚ,ₘ → (S)O⁺ₚ,ₘ. La sobreyectividad de esta aplicación se deduce del teorema de Cartan-Dieudonné, que conseguimos demostrar de forma sencilla gracias a las operaciones y propiedades de las álgebras de Clifford. Por otro lado, dotando a Gₚ,ₘ de una topología natural, esta álgebra adquiere, además, una estructura de variedad real analítica, y se observa que los grupos Pinₚ,ₘ, Spinₚ,ₘ y Spin⁺ₚ,ₘ están contenidos en el grupo G×ₚ,ₘ de elementos invertibles del álgebra, que resulta ser un grupo de Lie. Esta estructura de grupo de Lie nos permite demostrar que Spin⁺ₚ,ₘ es arcoconexo y que el homomorfismo ρ es también un recubridor doble. Como consecuencia, obtenemos que el grupo de rotaciones (generalizado) SO⁺ₚ,ₘ es conexo. Como mencionábamos arriba, en los casos euclídeo y lorentziano, este recubridor doble resulta ser también un recubridor universal. La demostración de este resultado no se completa hasta el capítulo 3, donde probamos que el grupo fundamental de SO(3) es ℤ₂. Para cerrar el capítulo, se muestra que el álgebra Gₚ,ₘ contiene una copia isométrica de ℝₘ₊₁,ₚ y otra isomorfa de Spin⁺ₘ₊₁,ₚ (que denotaremos por $pin⁺ₘ₊₁,ₚ), lo que nos permite usar el álgebra de Clifford euclídea, Gₙ, para modelar también el espacio lorentziano ℝ₁,ₙ y sus transformaciones de Lorentz. Finalmente, en el capítulo 3 se estudia la estructura y aplicaciones del álgebra de Clifford G₃ asociada al espacio euclídeo ℝ³. La forma particularmente simple que toma el grupo espín en dimensiones bajas (n ≤ 4) nos permite demostrar que Spin(3) es simplemente conexo, lo cual implica, por ser ρ : Spin(3) → SO(3) un recubridor doble, que el grupo fundamental de SO(3) es ℤ₂, como anticipábamos arriba. Este resultado topológico-algebraico se ilustra físicamente mediante el truco del cinturón de Dirac. Para ello, seguimos la explicación dada en [22]. Además, se establece un isomorfismo entre Spin(3) y los cuaterniones unitarios, deduciéndose la fórmula de representación de rotaciones usando cuaterniones. En cuanto a las aplicaciones en física, utilizamos el espacio de paravectores P₁,₃ = G₀³ ⊕ G₁³ y el grupo $pin⁺(1, 3) ⊆ G×₃ para modelar el espacio-tiempo de Minkowski y las transformaciones de Lorentz, respectivamente. Además, el elemento e₁e₂e₃, también llamado el pseudoescalar, dota al álgebra G₃ de una estructura compleja natural, que es utilizada para definir la dualidad de Hodge. Usando esta operación, recuperamos el producto vectorial usual de ℝ³ como el dual del producto exterior, lo que nos permite reescribir de forma compacta las cuatro ecuaciones de Maxwell como una sola ecuación en G₃. Para terminar el capítulo, nos centramos en las aplicaciones en mecánica cuántica. En primer lugar, se muestra que las matrices de Pauli inducen un isomorfismo entre G₃ y ℂ²×², que restringido a los grupos Spin(3) y $pin⁺(1, 3) da lugar a los isomorfismos Spin(3) ∼= SU(2), $pin⁺(1, 3) ∼= SL(2, ℂ). El isomorfismo dado por las matrices de Pauli también nos permite modelar los espinores (de Pauli y de Weyl) como elementos del ideal mínimo por la izquierda G₃P₃, donde P₃ = ½(1 − e₃) es un idempotente primitivo. Por último, partiendo de la representación de las transformaciones de Lorentz usando el grupo $pin⁺(1, 3), deducimos la ecuación de Dirac, revelando una estrecha conexión entre los espinores de Dirac (y de Weyl) y ciertos elementos de dicho grupo espín.},
publisher = {Universidad de Granada},
title = {The Spin group and its applications},
author = {Oliver Huete, Alejandro},
}