Representación y simulación de procesos fractales multiparamétricos

Abstract

En diversas áreas de aplicación interesa investigar el comportamiento conjunto de dos fenómenos físicos aleatorios relacionados por una ecuación dada en términos de operadores. El objetivo de esta investigación se centra en el estudio de los problemas de reconstrucción, extrapolación y filtrado inversos asociados a una clase de campos aleatorios definidos mediante filtros lineales fraccionarios en términos de ruido blanco. Se propone una aproximación funcional basada en la formulación de dichos problemas mediante campos aleatorios generalizados y sus desarrollos débiles en términos de wavelets transformadas definidas mediante los filtros lineales fraccionarios que relacionan la clase de campos aleatorios considerada con ruido blanco. Dichos desarrollos inducen respectivas expansiones en serie para los operadores de covarianza de los campos aleatorios de entrada y salida. Las soluciones a los problemas de reconstrucción y extrapolación se formulan entonces en términos de estos desarrollos en serie definidos mediante las correspondientes bases de Riesz duales. Bajo ciertas condiciones, las soluciones definidas en sentido débil se interpretan en sentido fuerte. El truncamiento de las series anteriores conduce a una aproximación finito-dimensional del problema. El estudio del problema de filtrado se desarrolla en el mismo contexto de campos aleatorios generalizados pseudowavelets y se estudian condiciones sobre el orden de singularidad del ruido de observación para que sea posible regularizar el problema. Se realizan estudios de simulación para modelos pertenecientes a la familia de movimiento Browniano fraccionario y ruido blanco integrado fraccionariamente. En particular se analiza el roden de truncamiento en función de la regularidad de los campos aleatorios de entrada y de salida y de la base de wavelets considerada. Para el problema de filtrado también se analiza la influencia de la regularidad del ruido de observación sobre la calidad de las estimaciones. Finalmente se estudian procesos relacionados con la ecuación de Black-Scholes, considerando un modelo diferencial para el log-precio definido sobre tiempo fractal. Se aplican los resultados de los capítulos anteriores extendidos al caso de dominio con geometría fractal, para obtener una aproximación débil de la solución de los problemas de extrapolación y filtrado asociados al proceso de precios generalizado sobre tiempo fractal