Inference on linear processes in Hilbert and Banach spaces: statistical analysis of high-dimensional data

Abstract

Esta tesis proporciona nuevos resultados en el contexto de la estimación y predicción funcional, a partir de modelos autorregresivos Hilbertianos, o bien, con valores en espacios de Banach separables. El objetivo fundamental es proporcionar herramientas adecuadas para modelizar relaciones lineales entre variables aleatorias funcionales, que dependen de un índice temporal. Se ha adoptado un enfoque paramétrico, en la estimación funcional, basado en proyectar sobre bases ortonormales adecuadas. Los resultados derivados, sobre propiedades asintóticas de los estimadores considerados, se aplican al contexto de la regresión lineal funcional, con errores correlados en el tiempo, y con valores funcionales en espacios de Hilbert separables. En particular, se considera un análisis funcional de la varianza para dichos modelos. Adicionalmente, se introduce un enfoque Bayesiano en la derivación de la aproximación considerada, componente a componente, para el operador de autocorrelación, bajo condiciones menos restrictivas. El enfoque no paramétrico se contempla en la clasificación de datos funcionales con soporte espacial.

This PhD thesis focuses on statistical estimation and prediction from temporal correlated functional data. We adopt the functional time series framework, considering, in particular, autoregressive processes in Hilbert and Banach spaces (ARH(1) and ARB(1) processes). Our primary objective is the statistical estimation of the conditional mean, from temporal correlated data, considering linear models in a parametric framework. That is the case, for example, of the estimation of the functional response in linear regression, with functional regressors and correlated errors, lying in Hilbert or Banach spaces. Some extensions to the Bayesian framework are derived as well. Nonparametric classification is also considered, in the special case of spatially supported uncorrelated functional data.