Construcciones en geometría hiperbólica y teselaciones mediante grupos N.E.C. poligonales :algoritmos de automatización

Abstract

Se estudian los dos modelos de Poincare del plano hiperbólico, definiendo las isometrias en funcion de los puntos fijos que dejan cada una de ellas. Haciendo uso de los puntos fijos de las isometrias, se realiza una clasificacion exhaustiva de dichas isometrias, para pasar a descomponerlas en producto de reflexiones. Se abordan distintos problemas constructivos que se pueden presentar con el grupo de transformaciones del plano hiperbolico, determinado los algoritmos que posteriormente han sido programados mediante el software Mathematica. Se obtienen importantes propiedades relacionadas con el cuadrilatero de Saccheri basandose en el estudio de las traslaciones según una recta. Asimismo se realiza la construccion de las orbitas de las isometrias directas. e realiza el estudio de los cuadrilateros de Saccheri y Lambert, dando condiciones para su existencia y unicidad salvo congruencias. Se da una nueva definicion de region fundamental para un grupo N.E.c. Y se compara con la definicion dada por Wilkie. Posteriormente se realiza la teselacion del plano hiperbólico con grupos triangulares que dan pie al estudio de los grupos poligonales. Basandose en el estudio realizado sobre cuadrilateros de Saccheri y Lambert, se demuestra bajo que condiciones dichos cuadrilateros teselan el plano hiperbólico, exponiendo ejemplos de dichas teselaciones. Se obtienen resultados importantes con el estudio de grupos bicolor y se dan ejemplos explicitos de teselaciones con dichos grupos