Quasi-interpolantes spline discretos con norma casi mínima. Teoría y aplicaciones

Abstract

Las funciones spline constituyen en la actualidad una herramienta básica en la teoría de aproximación. Desde su introducción en la década de los cuarenta del siglo pasado hasta la actualidad han ido ocupando parcelas cada vez más amplia, tanto científicas como técnicas. Un problema básico en el que juegan un papel fundamental es la aproximación de datos empíricos y de funciones de una y varias variables. La construcción de aproximantes spline puede llevarse a cabo de muy diversas formas, entre las que la más conocidas son la interpolación y el ajuste por mínimos cuadrados. Son técnicas computacionalmente costosas, pues dan lugar a sistemas de ecuaciones lineales. Esto es especialmente relevante cuando se aplica en varias variables. Los quasi-interpolantes spline surgen con el ánimo de conseguir buenos aproximantes con un coste moderado. El procesamiento en tiempo real de gran cantidad de datos requiere que el aproximante spline sea construido conforme se dispone de la información, por lo que es necesario diseñar métodos de tipo local que, además, tengan un alto orden de aproximación. El estudio es una variable y con nodos uniformemente espaciados se remonta a los trabajos de I.J. Schoenberg, quien consideró como quasi-interpolantes series B-spline en cuyos coeficientes intervienen valores de función o derivadas. El siguiente paso fue emplear nodos no uniformemente espacios y los correspondientes B-splines. En lo que respecta al caso multivariado, para particiones regulares el papel del B-spline univariado pasa a ser desempeñado por el box-spline o, en general, por B-splines (funciones polinómicas a trozos, de soporte compacto). Se utilizan valores de función, de derivadas parciales o de valores integrales. En esta memoria se estudian diversos problemas relativos a la construcción de quasi-interpolantes B-spline discretos en una y dos variables, a los que se exige, entre otras cosas, que sean exactos en el mayor espacio de polinomios contenido en el espacio de funciones spline en el que se trabaja. El objetivo fundamental es construirlos de modo que den lugar a menores errores de quasi-interpolación. En primer lugar, se parte de la acotación estándar de dicho error para quasi-interpolantes exactos en un espacio de polinomios (en la que interviene la norma infinito del operador de quasi-interpolación) y se analiza el problema de la construcción de quasi-interpolantes spline discretos de norma casi mínima. Se demuestra que el problema tiene solución en los casos de una y dos variables sobre particines regulares de la recta y del plano reales, respectivamente, y se analizan detenidamente los casos correspondientes a grados moderados, que son los potencialmente utilizables en la práctica. Si la partición no uniforme de la recta real cumple una determinada condición, se demuestra que existen quasi-interpolantes spline discretos de norma infinito casi mínima (cuadráticos y cúbicos) exactos en el espacio de los polinomios cuadráticos, que están uniformemente acotados. Suponiendo funciones suficientemente regulares, se construyen nuevos quasi-interpolantes spline discretos univariados, denominados quasi-interpolantes de tipo Chebyshev, y que producen menores cotas de error que los quasi-interpolantes clásicos. La memoria concluye analizando el problema del control local del error de quasi-interpolación, para lo que se proponen diferentes alternativas