Superficies de curvatura media constante en espacios homogéneos

Abstract

El objetivo de esta tesis es estudiar propiedades de las superficies de curvatura media constante (CMC) en espacios homogéneos 3-dimensionales con grupo de isometrías de dimensión 4. Para ello, se introduce y estudia un tipo más general de 3-variedades: las submersiones de Killing, que no son más que variedades que admiten una submersión riemanniana sobre una superficie de forma que las fibras de la submersión son curvas integrales de un campo de Killing unitario. Se obtienen resultados de clasificación global de submersiones de Killing sobre superficies modelo de curvatura constante, así como una descripción completa de su grupo de isometrías en términos de las isometrías de la superficie base.

En una segunda parte, se estudian superficies de CMC positiva en productos riemannianos de una superficie por la rect real, y que se particularizan a variedades homogéneas producto. Concretamente, se dan estimaciones de la curvatura geodésica de la frontera de bigrafos de CMC en términos de la altura que dichos bigrafos desarrollan en el ambiente. Además, mediante construcciones de Plateau conjugadas, se dan nuevos ejemplos de bigrafos de CMC con altura acotada e invariantes por un grupo grande de isometrías del ambiente. Finalmente, en esta parte se estudian multigrafos completos de CMC en espacios homogéneos con grupo de isometrías de dimensión 4 en términos de las constantes de estructura del espacio y de la curvatura media, probando que bien no existen, bien son grafos y, en particular, embebidos.

En una última parte, se estudia la estabilidad de superficies de CMC en espacios homogéneos con grupo de isometrías de dimensión 4 y se obtienen resultados cuando se supone de forma adicional que la estructura conforme subyacente a la superficie es de tipo parabólico. Concretamente, se prueba no existen superficies estables de CMC que sean parabólicas, completas y orientables en este tipo de espacios para cierto rango de la curvatura media, mientras que, para el resto de curvaturas medias, éstas han de ser grafos o bien cilindros verticales.